Resolver {l}{-15A+3B=21}{-15B-3A=-14}

$$\left. \begin{array} { l } { - 15 A + 3 B = 21 } \\ { - 15 B - 3 A = - 14 } \end{array} \right.$$

Resolver A, B

$$A = -\frac{7}{6} = -1\frac{1}{6} \approx -1.166666667$$

$$B = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6} \approx 1.166666667$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-15A+3B=21,-3A-15B=-14$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a A mediante o illamento de A no lado esquerdo do signo igual.

$$-15A+3B=21$$

Resta 3B en ambos lados da ecuación.

$$-15A=-3B+21$$

Divide ambos lados entre -15.

$$A=-\frac{1}{15}\left(-3B+21\right)$$

Multiplica -\frac{1}{15} por -3B+21.

$$A=\frac{1}{5}B-\frac{7}{5}$$

Substitúe A por \frac{-7+B}{5} na outra ecuación, -3A-15B=-14.

$$-3\left(\frac{1}{5}B-\frac{7}{5}\right)-15B=-14$$

Multiplica -3 por \frac{-7+B}{5}.

$$-\frac{3}{5}B+\frac{21}{5}-15B=-14$$

Suma -\frac{3B}{5} a -15B.

$$-\frac{78}{5}B+\frac{21}{5}=-14$$

Resta \frac{21}{5} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{78}{5}B=-\frac{91}{5}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{78}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$B=\frac{7}{6}$$

Substitúe B por \frac{7}{6} en A=\frac{1}{5}B-\frac{7}{5}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar A directamente.

$$A=\frac{1}{5}\times \frac{7}{6}-\frac{7}{5}$$

Multiplica \frac{1}{5} por \frac{7}{6} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$A=\frac{7}{30}-\frac{7}{5}$$

Suma -\frac{7}{5} a \frac{7}{30} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$A=-\frac{7}{6}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$A=-\frac{7}{6},B=\frac{7}{6}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-15A+3B=21,-3A-15B=-14$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{-15\left(-15\right)-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{-15\left(-15\right)-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{-15\left(-15\right)-3\left(-3\right)}&-\frac{15}{-15\left(-15\right)-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{78}&-\frac{1}{78}\\\frac{1}{78}&-\frac{5}{78}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{78}\times 21-\frac{1}{78}\left(-14\right)\\\frac{1}{78}\times 21-\frac{5}{78}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{6}\\\frac{7}{6}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz A e B.

$$A=-\frac{7}{6},B=\frac{7}{6}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-15A+3B=21,-3A-15B=-14$$

Para que -15A e -3A sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -3 e todos os termos a cada lado da segunda por -15.

$$-3\left(-15\right)A-3\times 3B=-3\times 21,-15\left(-3\right)A-15\left(-15\right)B=-15\left(-14\right)$$

Simplifica.

$$45A-9B=-63,45A+225B=210$$

Resta 45A+225B=210 de 45A-9B=-63 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$45A-45A-9B-225B=-63-210$$

Suma 45A a -45A. 45A e -45A anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-9B-225B=-63-210$$

Suma -9B a -225B.

$$-234B=-63-210$$

Suma -63 a -210.

$$-234B=-273$$

Divide ambos lados entre -234.

$$B=\frac{7}{6}$$

Substitúe B por \frac{7}{6} en -3A-15B=-14. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar A directamente.

$$-3A-15\times \frac{7}{6}=-14$$

Multiplica -15 por \frac{7}{6}.

$$-3A-\frac{35}{2}=-14$$

Suma \frac{35}{2} en ambos lados da ecuación.

$$-3A=\frac{7}{2}$$

Divide ambos lados entre -3.

$$A=-\frac{7}{6}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$A=-\frac{7}{6},B=\frac{7}{6}$$