Resolver {l}{-14y+3x=8}{24quad8x-9y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { - 14 y + 3 x = 8 } \\ { 24 \quad 8 x - 9 y = 7 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x=\frac{26}{2661}\approx 0.009770763$$

$$y=-\frac{505}{887}\approx -0.569334837$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-14y+3x=8,-9y+192x=7$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$-14y+3x=8$$

Resta 3x en ambos lados da ecuación.

$$-14y=-3x+8$$

Divide ambos lados entre -14.

$$y=-\frac{1}{14}\left(-3x+8\right)$$

Multiplica -\frac{1}{14} por -3x+8.

$$y=\frac{3}{14}x-\frac{4}{7}$$

Substitúe y por \frac{3x}{14}-\frac{4}{7} na outra ecuación, -9y+192x=7.

$$-9\left(\frac{3}{14}x-\frac{4}{7}\right)+192x=7$$

Multiplica -9 por \frac{3x}{14}-\frac{4}{7}.

$$-\frac{27}{14}x+\frac{36}{7}+192x=7$$

Suma -\frac{27x}{14} a 192x.

$$\frac{2661}{14}x+\frac{36}{7}=7$$

Resta \frac{36}{7} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{2661}{14}x=\frac{13}{7}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{2661}{14}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=\frac{26}{2661}$$

Substitúe x por \frac{26}{2661} en y=\frac{3}{14}x-\frac{4}{7}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=\frac{3}{14}\times \frac{26}{2661}-\frac{4}{7}$$

Multiplica \frac{3}{14} por \frac{26}{2661} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$y=\frac{13}{6209}-\frac{4}{7}$$

Suma -\frac{4}{7} a \frac{13}{6209} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$y=-\frac{505}{887}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=-\frac{505}{887},x=\frac{26}{2661}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-14y+3x=8,-9y+192x=7$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-14&3\\-9&192\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-14&3\\-9&192\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-14&3\\-9&192\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14&3\\-9&192\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-14&3\\-9&192\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-14&3\\-9&192\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-14&3\\-9&192\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{192}{-14\times 192-3\left(-9\right)}&-\frac{3}{-14\times 192-3\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{-14\times 192-3\left(-9\right)}&-\frac{14}{-14\times 192-3\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{64}{887}&\frac{1}{887}\\-\frac{3}{887}&\frac{14}{2661}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{64}{887}\times 8+\frac{1}{887}\times 7\\-\frac{3}{887}\times 8+\frac{14}{2661}\times 7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{505}{887}\\\frac{26}{2661}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=-\frac{505}{887},x=\frac{26}{2661}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-14y+3x=8,-9y+192x=7$$

Para que -14y e -9y sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -9 e todos os termos a cada lado da segunda por -14.

$$-9\left(-14\right)y-9\times 3x=-9\times 8,-14\left(-9\right)y-14\times 192x=-14\times 7$$

Simplifica.

$$126y-27x=-72,126y-2688x=-98$$

Resta 126y-2688x=-98 de 126y-27x=-72 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$126y-126y-27x+2688x=-72+98$$

Suma 126y a -126y. 126y e -126y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-27x+2688x=-72+98$$

Suma -27x a 2688x.

$$2661x=-72+98$$

Suma -72 a 98.

$$2661x=26$$

Divide ambos lados entre 2661.

$$x=\frac{26}{2661}$$

Substitúe x por \frac{26}{2661} en -9y+192x=7. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$-9y+192\times \frac{26}{2661}=7$$

Multiplica 192 por \frac{26}{2661}.

$$-9y+\frac{1664}{887}=7$$

Resta \frac{1664}{887} en ambos lados da ecuación.

$$-9y=\frac{4545}{887}$$

Divide ambos lados entre -9.

$$y=-\frac{505}{887}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=-\frac{505}{887},x=\frac{26}{2661}$$