Resolver {l}{-12x-5y=40}{12x-11y=88}

$$\left. \begin{array} { l } { - 12 x - 5 y = 40 } \\ { 12 x - 11 y = 88 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=0$$

$$y=-8$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-12x-5y=40,12x-11y=88$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-12x-5y=40$$

Suma 5y en ambos lados da ecuación.

$$-12x=5y+40$$

Divide ambos lados entre -12.

$$x=-\frac{1}{12}\left(5y+40\right)$$

Multiplica -\frac{1}{12} por 40+5y.

$$x=-\frac{5}{12}y-\frac{10}{3}$$

Substitúe x por -\frac{5y}{12}-\frac{10}{3} na outra ecuación, 12x-11y=88.

$$12\left(-\frac{5}{12}y-\frac{10}{3}\right)-11y=88$$

Multiplica 12 por -\frac{5y}{12}-\frac{10}{3}.

$$-5y-40-11y=88$$

Suma -5y a -11y.

$$-16y-40=88$$

Suma 40 en ambos lados da ecuación.

$$-16y=128$$

Divide ambos lados entre -16.

$$y=-8$$

Substitúe y por -8 en x=-\frac{5}{12}y-\frac{10}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{5}{12}\left(-8\right)-\frac{10}{3}$$

Multiplica -\frac{5}{12} por -8.

$$x=\frac{10-10}{3}$$

Suma -\frac{10}{3} a \frac{10}{3} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=0$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=0,y=-8$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-12x-5y=40,12x-11y=88$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-12&-5\\12&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-12&-5\\12&-11\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-12&-5\\12&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12&-5\\12&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-12&-5\\12&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-12&-5\\12&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-12&-5\\12&-11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{-12\left(-11\right)-\left(-5\times 12\right)}&-\frac{-5}{-12\left(-11\right)-\left(-5\times 12\right)}\\-\frac{12}{-12\left(-11\right)-\left(-5\times 12\right)}&-\frac{12}{-12\left(-11\right)-\left(-5\times 12\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{192}&\frac{5}{192}\\-\frac{1}{16}&-\frac{1}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\88\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{192}\times 40+\frac{5}{192}\times 88\\-\frac{1}{16}\times 40-\frac{1}{16}\times 88\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-8\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=0,y=-8$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-12x-5y=40,12x-11y=88$$

Para que -12x e 12x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 12 e todos os termos a cada lado da segunda por -12.

$$12\left(-12\right)x+12\left(-5\right)y=12\times 40,-12\times 12x-12\left(-11\right)y=-12\times 88$$

Simplifica.

$$-144x-60y=480,-144x+132y=-1056$$

Resta -144x+132y=-1056 de -144x-60y=480 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-144x+144x-60y-132y=480+1056$$

Suma -144x a 144x. -144x e 144x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-60y-132y=480+1056$$

Suma -60y a -132y.

$$-192y=480+1056$$

Suma 480 a 1056.

$$-192y=1536$$

Divide ambos lados entre -192.

$$y=-8$$

Substitúe y por -8 en 12x-11y=88. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$12x-11\left(-8\right)=88$$

Multiplica -11 por -8.

$$12x+88=88$$

Resta 88 en ambos lados da ecuación.

$$12x=0$$

Divide ambos lados entre 12.

$$x=0$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=0,y=-8$$