Resolver {l}{-12x+10y=-10}{6x-7y=-5}

$$\left. \begin{array} { l } { - 12 x + 10 y = - 10 } \\ { 6 x - 7 y = - 5 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=5$$

$$y=5$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-12x+10y=-10,6x-7y=-5$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-12x+10y=-10$$

Resta 10y en ambos lados da ecuación.

$$-12x=-10y-10$$

Divide ambos lados entre -12.

$$x=-\frac{1}{12}\left(-10y-10\right)$$

Multiplica -\frac{1}{12} por -10y-10.

$$x=\frac{5}{6}y+\frac{5}{6}$$

Substitúe x por \frac{5+5y}{6} na outra ecuación, 6x-7y=-5.

$$6\left(\frac{5}{6}y+\frac{5}{6}\right)-7y=-5$$

Multiplica 6 por \frac{5+5y}{6}.

$$5y+5-7y=-5$$

Suma 5y a -7y.

$$-2y+5=-5$$

Resta 5 en ambos lados da ecuación.

$$-2y=-10$$

Divide ambos lados entre -2.

$$y=5$$

Substitúe y por 5 en x=\frac{5}{6}y+\frac{5}{6}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{5}{6}\times 5+\frac{5}{6}$$

Multiplica \frac{5}{6} por 5.

$$x=\frac{25+5}{6}$$

Suma \frac{5}{6} a \frac{25}{6} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=5,y=5$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-12x+10y=-10,6x-7y=-5$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-12&10\\6&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-12&10\\6&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-12&10\\6&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12&10\\6&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-12&10\\6&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-5\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-12&10\\6&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-12&10\\6&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-5\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{-12\left(-7\right)-10\times 6}&-\frac{10}{-12\left(-7\right)-10\times 6}\\-\frac{6}{-12\left(-7\right)-10\times 6}&-\frac{12}{-12\left(-7\right)-10\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{24}&-\frac{5}{12}\\-\frac{1}{4}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{24}\left(-10\right)-\frac{5}{12}\left(-5\right)\\-\frac{1}{4}\left(-10\right)-\frac{1}{2}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=5,y=5$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-12x+10y=-10,6x-7y=-5$$

Para que -12x e 6x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 6 e todos os termos a cada lado da segunda por -12.

$$6\left(-12\right)x+6\times 10y=6\left(-10\right),-12\times 6x-12\left(-7\right)y=-12\left(-5\right)$$

Simplifica.

$$-72x+60y=-60,-72x+84y=60$$

Resta -72x+84y=60 de -72x+60y=-60 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-72x+72x+60y-84y=-60-60$$

Suma -72x a 72x. -72x e 72x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$60y-84y=-60-60$$

Suma 60y a -84y.

$$-24y=-60-60$$

Suma -60 a -60.

$$-24y=-120$$

Divide ambos lados entre -24.

$$y=5$$

Substitúe y por 5 en 6x-7y=-5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$6x-7\times 5=-5$$

Multiplica -7 por 5.

$$6x-35=-5$$

Suma 35 en ambos lados da ecuación.

$$6x=30$$

Divide ambos lados entre 6.

$$x=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=5,y=5$$