Resolver {l}{-10y+9x=-9}{10y+5x=-5}

$$\left. \begin{array} { l } { - 10 y + 9 x = - 9 } \\ { 10 y + 5 x = - 5 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x=-1$$

$$y=0$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-10y+9x=-9,10y+5x=-5$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$-10y+9x=-9$$

Resta 9x en ambos lados da ecuación.

$$-10y=-9x-9$$

Divide ambos lados entre -10.

$$y=-\frac{1}{10}\left(-9x-9\right)$$

Multiplica -\frac{1}{10} por -9x-9.

$$y=\frac{9}{10}x+\frac{9}{10}$$

Substitúe y por \frac{9+9x}{10} na outra ecuación, 10y+5x=-5.

$$10\left(\frac{9}{10}x+\frac{9}{10}\right)+5x=-5$$

Multiplica 10 por \frac{9+9x}{10}.

$$9x+9+5x=-5$$

Suma 9x a 5x.

$$14x+9=-5$$

Resta 9 en ambos lados da ecuación.

$$14x=-14$$

Divide ambos lados entre 14.

$$x=-1$$

Substitúe x por -1 en y=\frac{9}{10}x+\frac{9}{10}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=\frac{9}{10}\left(-1\right)+\frac{9}{10}$$

Multiplica \frac{9}{10} por -1.

$$y=\frac{-9+9}{10}$$

Suma \frac{9}{10} a -\frac{9}{10} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$y=0$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=0,x=-1$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-10y+9x=-9,10y+5x=-5$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-10\times 5-9\times 10}&-\frac{9}{-10\times 5-9\times 10}\\-\frac{10}{-10\times 5-9\times 10}&-\frac{10}{-10\times 5-9\times 10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{28}&\frac{9}{140}\\\frac{1}{14}&\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{28}\left(-9\right)+\frac{9}{140}\left(-5\right)\\\frac{1}{14}\left(-9\right)+\frac{1}{14}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=0,x=-1$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-10y+9x=-9,10y+5x=-5$$

Para que -10y e 10y sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 10 e todos os termos a cada lado da segunda por -10.

$$10\left(-10\right)y+10\times 9x=10\left(-9\right),-10\times 10y-10\times 5x=-10\left(-5\right)$$

Simplifica.

$$-100y+90x=-90,-100y-50x=50$$

Resta -100y-50x=50 de -100y+90x=-90 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-100y+100y+90x+50x=-90-50$$

Suma -100y a 100y. -100y e 100y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$90x+50x=-90-50$$

Suma 90x a 50x.

$$140x=-90-50$$

Suma -90 a -50.

$$140x=-140$$

Divide ambos lados entre 140.

$$x=-1$$

Substitúe x por -1 en 10y+5x=-5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$10y+5\left(-1\right)=-5$$

Multiplica 5 por -1.

$$10y-5=-5$$

Suma 5 en ambos lados da ecuación.

$$10y=0$$

Divide ambos lados entre 10.

$$y=0$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=0,x=-1$$