Resolver {l}{-10x-7y=-5}{7x+5y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { - 10 x - 7 y = - 5 } \\ { 7 x + 5 y = 4 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-3$$

$$y=5$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-10x-7y=-5,7x+5y=4$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-10x-7y=-5$$

Suma 7y en ambos lados da ecuación.

$$-10x=7y-5$$

Divide ambos lados entre -10.

$$x=-\frac{1}{10}\left(7y-5\right)$$

Multiplica -\frac{1}{10} por 7y-5.

$$x=-\frac{7}{10}y+\frac{1}{2}$$

Substitúe x por -\frac{7y}{10}+\frac{1}{2} na outra ecuación, 7x+5y=4.

$$7\left(-\frac{7}{10}y+\frac{1}{2}\right)+5y=4$$

Multiplica 7 por -\frac{7y}{10}+\frac{1}{2}.

$$-\frac{49}{10}y+\frac{7}{2}+5y=4$$

Suma -\frac{49y}{10} a 5y.

$$\frac{1}{10}y+\frac{7}{2}=4$$

Resta \frac{7}{2} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{1}{10}y=\frac{1}{2}$$

Multiplica ambos lados por 10.

$$y=5$$

Substitúe y por 5 en x=-\frac{7}{10}y+\frac{1}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{7}{10}\times 5+\frac{1}{2}$$

Multiplica -\frac{7}{10} por 5.

$$x=\frac{-7+1}{2}$$

Suma \frac{1}{2} a -\frac{7}{2} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-3,y=5$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-10x-7y=-5,7x+5y=4$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-10&-7\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-10&-7\\7&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&-7\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&-7\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-7\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-7\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-7\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-10\times 5-\left(-7\times 7\right)}&-\frac{-7}{-10\times 5-\left(-7\times 7\right)}\\-\frac{7}{-10\times 5-\left(-7\times 7\right)}&-\frac{10}{-10\times 5-\left(-7\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5&-7\\7&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\left(-5\right)-7\times 4\\7\left(-5\right)+10\times 4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-3,y=5$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-10x-7y=-5,7x+5y=4$$

Para que -10x e 7x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 7 e todos os termos a cada lado da segunda por -10.

$$7\left(-10\right)x+7\left(-7\right)y=7\left(-5\right),-10\times 7x-10\times 5y=-10\times 4$$

Simplifica.

$$-70x-49y=-35,-70x-50y=-40$$

Resta -70x-50y=-40 de -70x-49y=-35 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-70x+70x-49y+50y=-35+40$$

Suma -70x a 70x. -70x e 70x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-49y+50y=-35+40$$

Suma -49y a 50y.

$$y=-35+40$$

Suma -35 a 40.

$$y=5$$

Substitúe y por 5 en 7x+5y=4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$7x+5\times 5=4$$

Multiplica 5 por 5.

$$7x+25=4$$

Resta 25 en ambos lados da ecuación.

$$7x=-21$$

Divide ambos lados entre 7.

$$x=-3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-3,y=5$$