Resolver {l}{-10x-6y=12}{4x+7y=-14}

$$\left. \begin{array} { l } { - 10 x - 6 y = 12 } \\ { 4 x + 7 y = - 14 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=0$$

$$y=-2$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-10x-6y=12,4x+7y=-14$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-10x-6y=12$$

Suma 6y en ambos lados da ecuación.

$$-10x=6y+12$$

Divide ambos lados entre -10.

$$x=-\frac{1}{10}\left(6y+12\right)$$

Multiplica -\frac{1}{10} por 12+6y.

$$x=-\frac{3}{5}y-\frac{6}{5}$$

Substitúe x por \frac{-3y-6}{5} na outra ecuación, 4x+7y=-14.

$$4\left(-\frac{3}{5}y-\frac{6}{5}\right)+7y=-14$$

Multiplica 4 por \frac{-3y-6}{5}.

$$-\frac{12}{5}y-\frac{24}{5}+7y=-14$$

Suma -\frac{12y}{5} a 7y.

$$\frac{23}{5}y-\frac{24}{5}=-14$$

Suma \frac{24}{5} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{23}{5}y=-\frac{46}{5}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{23}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-2$$

Substitúe y por -2 en x=-\frac{3}{5}y-\frac{6}{5}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{3}{5}\left(-2\right)-\frac{6}{5}$$

Multiplica -\frac{3}{5} por -2.

$$x=\frac{6-6}{5}$$

Suma -\frac{6}{5} a \frac{6}{5} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=0$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=0,y=-2$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-10x-6y=12,4x+7y=-14$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-10&-6\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-14\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-10&-6\\4&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&-6\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&-6\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-6\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-14\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-6\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-14\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-6\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-14\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{-10\times 7-\left(-6\times 4\right)}&-\frac{-6}{-10\times 7-\left(-6\times 4\right)}\\-\frac{4}{-10\times 7-\left(-6\times 4\right)}&-\frac{10}{-10\times 7-\left(-6\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-14\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{46}&-\frac{3}{23}\\\frac{2}{23}&\frac{5}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-14\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{46}\times 12-\frac{3}{23}\left(-14\right)\\\frac{2}{23}\times 12+\frac{5}{23}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=0,y=-2$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-10x-6y=12,4x+7y=-14$$

Para que -10x e 4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 4 e todos os termos a cada lado da segunda por -10.

$$4\left(-10\right)x+4\left(-6\right)y=4\times 12,-10\times 4x-10\times 7y=-10\left(-14\right)$$

Simplifica.

$$-40x-24y=48,-40x-70y=140$$

Resta -40x-70y=140 de -40x-24y=48 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-40x+40x-24y+70y=48-140$$

Suma -40x a 40x. -40x e 40x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-24y+70y=48-140$$

Suma -24y a 70y.

$$46y=48-140$$

Suma 48 a -140.

$$46y=-92$$

Divide ambos lados entre 46.

$$y=-2$$

Substitúe y por -2 en 4x+7y=-14. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$4x+7\left(-2\right)=-14$$

Multiplica 7 por -2.

$$4x-14=-14$$

Suma 14 en ambos lados da ecuación.

$$4x=0$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=0$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=0,y=-2$$