Resolver {l}{-10x+20y=460}{30x+60y=1620}

$$\left. \begin{array} { l } { - 10 x + 20 y = 460 } \\ { 30 x + 60 y = 1620 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=4$$

$$y=25$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-10x+20y=460,30x+60y=1620$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-10x+20y=460$$

Resta 20y en ambos lados da ecuación.

$$-10x=-20y+460$$

Divide ambos lados entre -10.

$$x=-\frac{1}{10}\left(-20y+460\right)$$

Multiplica -\frac{1}{10} por -20y+460.

$$x=2y-46$$

Substitúe x por -46+2y na outra ecuación, 30x+60y=1620.

$$30\left(2y-46\right)+60y=1620$$

Multiplica 30 por -46+2y.

$$60y-1380+60y=1620$$

Suma 60y a 60y.

$$120y-1380=1620$$

Suma 1380 en ambos lados da ecuación.

$$120y=3000$$

Divide ambos lados entre 120.

$$y=25$$

Substitúe y por 25 en x=2y-46. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=2\times 25-46$$

Multiplica 2 por 25.

$$x=50-46$$

Suma -46 a 50.

$$x=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=4,y=25$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-10x+20y=460,30x+60y=1620$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{60}{-10\times 60-20\times 30}&-\frac{20}{-10\times 60-20\times 30}\\-\frac{30}{-10\times 60-20\times 30}&-\frac{10}{-10\times 60-20\times 30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{20}&\frac{1}{60}\\\frac{1}{40}&\frac{1}{120}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{20}\times 460+\frac{1}{60}\times 1620\\\frac{1}{40}\times 460+\frac{1}{120}\times 1620\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\25\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=4,y=25$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-10x+20y=460,30x+60y=1620$$

Para que -10x e 30x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 30 e todos os termos a cada lado da segunda por -10.

$$30\left(-10\right)x+30\times 20y=30\times 460,-10\times 30x-10\times 60y=-10\times 1620$$

Simplifica.

$$-300x+600y=13800,-300x-600y=-16200$$

Resta -300x-600y=-16200 de -300x+600y=13800 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-300x+300x+600y+600y=13800+16200$$

Suma -300x a 300x. -300x e 300x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$600y+600y=13800+16200$$

Suma 600y a 600y.

$$1200y=13800+16200$$

Suma 13800 a 16200.

$$1200y=30000$$

Divide ambos lados entre 1200.

$$y=25$$

Substitúe y por 25 en 30x+60y=1620. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$30x+60\times 25=1620$$

Multiplica 60 por 25.

$$30x+1500=1620$$

Resta 1500 en ambos lados da ecuación.

$$30x=120$$

Divide ambos lados entre 30.

$$x=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=4,y=25$$