Resolver {l}{-0.8x+2.3y=3.6}{1.6x-1.2y=6.4}

$$\left. \begin{array} { l } { - 0.8 x + 2.3 y = 3.6 } \\ { 1.6 x - 1.2 y = 6.4 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=7$$

$$y=4$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-0.8x+2.3y=3.6,1.6x-1.2y=6.4$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-0.8x+2.3y=3.6$$

Resta \frac{23y}{10} en ambos lados da ecuación.

$$-0.8x=-2.3y+3.6$$

Divide ambos lados da ecuación entre -0.8, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=-1.25\left(-2.3y+3.6\right)$$

Multiplica -1.25 por -\frac{23y}{10}+3.6.

$$x=2.875y-4.5$$

Substitúe x por \frac{23y}{8}-4.5 na outra ecuación, 1.6x-1.2y=6.4.

$$1.6\left(2.875y-4.5\right)-1.2y=6.4$$

Multiplica 1.6 por \frac{23y}{8}-4.5.

$$4.6y-7.2-1.2y=6.4$$

Suma \frac{23y}{5} a -\frac{6y}{5}.

$$3.4y-7.2=6.4$$

Suma 7.2 en ambos lados da ecuación.

$$3.4y=13.6$$

Divide ambos lados da ecuación entre 3.4, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=4$$

Substitúe y por 4 en x=2.875y-4.5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=2.875\times 4-4.5$$

Multiplica 2.875 por 4.

$$x=\frac{23-9}{2}$$

Suma -4.5 a 11.5 mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=7$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=7,y=4$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-0.8x+2.3y=3.6,1.6x-1.2y=6.4$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-0.8&2.3\\1.6&-1.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3.6\\6.4\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-0.8&2.3\\1.6&-1.2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-0.8&2.3\\1.6&-1.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-0.8&2.3\\1.6&-1.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.8&2.3\\1.6&-1.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3.6\\6.4\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.8&2.3\\1.6&-1.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3.6\\6.4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.8&2.3\\1.6&-1.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3.6\\6.4\end{matrix}\right)$$

Para a matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1.2}{-0.8\left(-1.2\right)-2.3\times 1.6}&-\frac{2.3}{-0.8\left(-1.2\right)-2.3\times 1.6}\\-\frac{1.6}{-0.8\left(-1.2\right)-2.3\times 1.6}&-\frac{0.8}{-0.8\left(-1.2\right)-2.3\times 1.6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3.6\\6.4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{34}&\frac{115}{136}\\\frac{10}{17}&\frac{5}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3.6\\6.4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{34}\times 3.6+\frac{115}{136}\times 6.4\\\frac{10}{17}\times 3.6+\frac{5}{17}\times 6.4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=7,y=4$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-0.8x+2.3y=3.6,1.6x-1.2y=6.4$$

Para que -\frac{4x}{5} e \frac{8x}{5} sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1.6 e todos os termos a cada lado da segunda por -0.8.

$$1.6\left(-0.8\right)x+1.6\times 2.3y=1.6\times 3.6,-0.8\times 1.6x-0.8\left(-1.2\right)y=-0.8\times 6.4$$

Simplifica.

$$-1.28x+3.68y=5.76,-1.28x+0.96y=-5.12$$

Resta -1.28x+0.96y=-5.12 de -1.28x+3.68y=5.76 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-1.28x+1.28x+3.68y-0.96y=\frac{144+128}{25}$$

Suma -\frac{32x}{25} a \frac{32x}{25}. -\frac{32x}{25} e \frac{32x}{25} anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$3.68y-0.96y=\frac{144+128}{25}$$

Suma \frac{92y}{25} a -\frac{24y}{25}.

$$2.72y=\frac{144+128}{25}$$

Suma 5.76 a 5.12 mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$2.72y=10.88$$

Divide ambos lados da ecuación entre 2.72, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=4$$

Substitúe y por 4 en 1.6x-1.2y=6.4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$1.6x-1.2\times 4=6.4$$

Multiplica -1.2 por 4.

$$1.6x-4.8=6.4$$

Suma 4.8 en ambos lados da ecuación.

$$1.6x=11.2$$

Divide ambos lados da ecuación entre 1.6, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=7$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=7,y=4$$