Resolver {l}{(x-2)(y+5)=(x-1)(y+2)}{(y-3)(x+4)=(x+7)(y-4)}

$$\left. \begin{array} { l } { ( x - 2 ) ( y + 5 ) = ( x - 1 ) ( y + 2 ) } \\ { ( y - 3 ) ( x + 4 ) = ( x + 7 ) ( y - 4 ) } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=5$$

$$y=7$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar x-2 por y+5.

$$xy+5x-2y-10=\left(x-1\right)\left(y+2\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x-1 por y+2.

$$xy+5x-2y-10=xy+2x-y-2$$

Resta xy en ambos lados.

$$xy+5x-2y-10-xy=2x-y-2$$

Combina xy e -xy para obter 0.

$$5x-2y-10=2x-y-2$$

Resta 2x en ambos lados.

$$5x-2y-10-2x=-y-2$$

Combina 5x e -2x para obter 3x.

$$3x-2y-10=-y-2$$

Engadir y en ambos lados.

$$3x-2y-10+y=-2$$

Combina -2y e y para obter -y.

$$3x-y-10=-2$$

Engadir 10 en ambos lados.

$$3x-y=-2+10$$

Suma -2 e 10 para obter 8.

$$3x-y=8$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar y-3 por x+4.

$$yx+4y-3x-12=\left(x+7\right)\left(y-4\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x+7 por y-4.

$$yx+4y-3x-12=xy-4x+7y-28$$

Resta xy en ambos lados.

$$yx+4y-3x-12-xy=-4x+7y-28$$

Combina yx e -xy para obter 0.

$$4y-3x-12=-4x+7y-28$$

Engadir 4x en ambos lados.

$$4y-3x-12+4x=7y-28$$

Combina -3x e 4x para obter x.

$$4y+x-12=7y-28$$

Resta 7y en ambos lados.

$$4y+x-12-7y=-28$$

Combina 4y e -7y para obter -3y.

$$-3y+x-12=-28$$

Engadir 12 en ambos lados.

$$-3y+x=-28+12$$

Suma -28 e 12 para obter -16.

$$-3y+x=-16$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x-y=8,x-3y=-16$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x-y=8$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$3x=y+8$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+8\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por y+8.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}$$

Substitúe x por \frac{8+y}{3} na outra ecuación, x-3y=-16.

$$\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}-3y=-16$$

Suma \frac{y}{3} a -3y.

$$-\frac{8}{3}y+\frac{8}{3}=-16$$

Resta \frac{8}{3} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{8}{3}y=-\frac{56}{3}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{8}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=7$$

Substitúe y por 7 en x=\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{1}{3}\times 7+\frac{8}{3}$$

Multiplica \frac{1}{3} por 7.

$$x=\frac{7+8}{3}$$

Suma \frac{8}{3} a \frac{7}{3} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=5,y=7$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar x-2 por y+5.

$$xy+5x-2y-10=\left(x-1\right)\left(y+2\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x-1 por y+2.

$$xy+5x-2y-10=xy+2x-y-2$$

Resta xy en ambos lados.

$$xy+5x-2y-10-xy=2x-y-2$$

Combina xy e -xy para obter 0.

$$5x-2y-10=2x-y-2$$

Resta 2x en ambos lados.

$$5x-2y-10-2x=-y-2$$

Combina 5x e -2x para obter 3x.

$$3x-2y-10=-y-2$$

Engadir y en ambos lados.

$$3x-2y-10+y=-2$$

Combina -2y e y para obter -y.

$$3x-y-10=-2$$

Engadir 10 en ambos lados.

$$3x-y=-2+10$$

Suma -2 e 10 para obter 8.

$$3x-y=8$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar y-3 por x+4.

$$yx+4y-3x-12=\left(x+7\right)\left(y-4\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x+7 por y-4.

$$yx+4y-3x-12=xy-4x+7y-28$$

Resta xy en ambos lados.

$$yx+4y-3x-12-xy=-4x+7y-28$$

Combina yx e -xy para obter 0.

$$4y-3x-12=-4x+7y-28$$

Engadir 4x en ambos lados.

$$4y-3x-12+4x=7y-28$$

Combina -3x e 4x para obter x.

$$4y+x-12=7y-28$$

Resta 7y en ambos lados.

$$4y+x-12-7y=-28$$

Combina 4y e -7y para obter -3y.

$$-3y+x-12=-28$$

Engadir 12 en ambos lados.

$$-3y+x=-28+12$$

Suma -28 e 12 para obter -16.

$$-3y+x=-16$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x-y=8,x-3y=-16$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3\left(-3\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3\left(-3\right)-\left(-1\right)}&\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\\\frac{1}{8}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\times 8-\frac{1}{8}\left(-16\right)\\\frac{1}{8}\times 8-\frac{3}{8}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=5,y=7$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar x-2 por y+5.

$$xy+5x-2y-10=\left(x-1\right)\left(y+2\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x-1 por y+2.

$$xy+5x-2y-10=xy+2x-y-2$$

Resta xy en ambos lados.

$$xy+5x-2y-10-xy=2x-y-2$$

Combina xy e -xy para obter 0.

$$5x-2y-10=2x-y-2$$

Resta 2x en ambos lados.

$$5x-2y-10-2x=-y-2$$

Combina 5x e -2x para obter 3x.

$$3x-2y-10=-y-2$$

Engadir y en ambos lados.

$$3x-2y-10+y=-2$$

Combina -2y e y para obter -y.

$$3x-y-10=-2$$

Engadir 10 en ambos lados.

$$3x-y=-2+10$$

Suma -2 e 10 para obter 8.

$$3x-y=8$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar y-3 por x+4.

$$yx+4y-3x-12=\left(x+7\right)\left(y-4\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x+7 por y-4.

$$yx+4y-3x-12=xy-4x+7y-28$$

Resta xy en ambos lados.

$$yx+4y-3x-12-xy=-4x+7y-28$$

Combina yx e -xy para obter 0.

$$4y-3x-12=-4x+7y-28$$

Engadir 4x en ambos lados.

$$4y-3x-12+4x=7y-28$$

Combina -3x e 4x para obter x.

$$4y+x-12=7y-28$$

Resta 7y en ambos lados.

$$4y+x-12-7y=-28$$

Combina 4y e -7y para obter -3y.

$$-3y+x-12=-28$$

Engadir 12 en ambos lados.

$$-3y+x=-28+12$$

Suma -28 e 12 para obter -16.

$$-3y+x=-16$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x-y=8,x-3y=-16$$

Para que 3x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$3x-y=8,3x+3\left(-3\right)y=3\left(-16\right)$$

Simplifica.

$$3x-y=8,3x-9y=-48$$

Resta 3x-9y=-48 de 3x-y=8 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$3x-3x-y+9y=8+48$$

Suma 3x a -3x. 3x e -3x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-y+9y=8+48$$

Suma -y a 9y.

$$8y=8+48$$

Suma 8 a 48.

$$8y=56$$

Divide ambos lados entre 8.

$$y=7$$

Substitúe y por 7 en x-3y=-16. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x-3\times 7=-16$$

Multiplica -3 por 7.

$$x-21=-16$$

Suma 21 en ambos lados da ecuación.

$$x=5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=5,y=7$$