Resolver {l}{(a+1)x+(b+2)y=12}{2x+3y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { ( a + 1 ) x + ( b + 2 ) y = 12 } \\ { 2 x + 3 y = 4 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{4\left(b-7\right)}{3a-2b-1}\text{, }y=-\frac{4\left(5-a\right)}{3a-2b-1}\text{, }&a\neq \frac{2b+1}{3}\\x=\frac{4-3y}{2}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&b=7\text{ and }a=5\end{matrix}\right.$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$\left(a+1\right)x+\left(b+2\right)y=12,2x+3y=4$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(a+1\right)x+\left(b+2\right)y=12$$

Resta \left(b+2\right)y en ambos lados da ecuación.

$$\left(a+1\right)x=\left(-\left(b+2\right)\right)y+12$$

Divide ambos lados entre a+1.

$$x=\frac{1}{a+1}\left(\left(-\left(b+2\right)\right)y+12\right)$$

Multiplica \frac{1}{a+1} por -\left(b+2\right)y+12.

$$x=\left(-\frac{b+2}{a+1}\right)y+\frac{12}{a+1}$$

Substitúe x por \frac{-by-2y+12}{a+1} na outra ecuación, 2x+3y=4.

$$2\left(\left(-\frac{b+2}{a+1}\right)y+\frac{12}{a+1}\right)+3y=4$$

Multiplica 2 por \frac{-by-2y+12}{a+1}.

$$\left(-\frac{2\left(b+2\right)}{a+1}\right)y+\frac{24}{a+1}+3y=4$$

Suma -\frac{2\left(b+2\right)y}{a+1} a 3y.

$$\frac{3a-2b-1}{a+1}y+\frac{24}{a+1}=4$$

Resta \frac{24}{a+1} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{3a-2b-1}{a+1}y=\frac{4\left(a-5\right)}{a+1}$$

Divide ambos lados entre \frac{3a-1-2b}{a+1}.

$$y=\frac{4\left(a-5\right)}{3a-2b-1}$$

Substitúe y por \frac{4\left(a-5\right)}{3a-1-2b} en x=\left(-\frac{b+2}{a+1}\right)y+\frac{12}{a+1}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\left(-\frac{b+2}{a+1}\right)\times \frac{4\left(a-5\right)}{3a-2b-1}+\frac{12}{a+1}$$

Multiplica -\frac{b+2}{a+1} por \frac{4\left(a-5\right)}{3a-1-2b}.

$$x=-\frac{4\left(a-5\right)\left(b+2\right)}{\left(a+1\right)\left(3a-2b-1\right)}+\frac{12}{a+1}$$

Suma \frac{12}{a+1} a -\frac{4\left(b+2\right)\left(a-5\right)}{\left(a+1\right)\left(3a-1-2b\right)}.

$$x=\frac{4\left(7-b\right)}{3a-2b-1}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{4\left(7-b\right)}{3a-2b-1},y=\frac{4\left(a-5\right)}{3a-2b-1}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$\left(a+1\right)x+\left(b+2\right)y=12,2x+3y=4$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}a+1&b+2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}a+1&b+2\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}a+1&b+2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a+1&b+2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a+1&b+2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a+1&b+2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a+1&b+2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{\left(a+1\right)\times 3-\left(b+2\right)\times 2}&-\frac{b+2}{\left(a+1\right)\times 3-\left(b+2\right)\times 2}\\-\frac{2}{\left(a+1\right)\times 3-\left(b+2\right)\times 2}&\frac{a+1}{\left(a+1\right)\times 3-\left(b+2\right)\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3a-2b-1}&-\frac{b+2}{3a-2b-1}\\-\frac{2}{3a-2b-1}&\frac{a+1}{3a-2b-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3a-2b-1}\times 12+\left(-\frac{b+2}{3a-2b-1}\right)\times 4\\\left(-\frac{2}{3a-2b-1}\right)\times 12+\frac{a+1}{3a-2b-1}\times 4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4\left(7-b\right)}{3a-2b-1}\\\frac{4\left(a-5\right)}{3a-2b-1}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{4\left(7-b\right)}{3a-2b-1},y=\frac{4\left(a-5\right)}{3a-2b-1}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$\left(a+1\right)x+\left(b+2\right)y=12,2x+3y=4$$

Para que xa+x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por a+1.

$$2\left(a+1\right)x+2\left(b+2\right)y=2\times 12,\left(a+1\right)\times 2x+\left(a+1\right)\times 3y=\left(a+1\right)\times 4$$

Simplifica.

$$\left(2a+2\right)x+\left(2b+4\right)y=24,\left(2a+2\right)x+\left(3a+3\right)y=4a+4$$

Resta \left(2a+2\right)x+\left(3a+3\right)y=4a+4 de \left(2a+2\right)x+\left(2b+4\right)y=24 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$\left(2a+2\right)x+\left(-2a-2\right)x+\left(2b+4\right)y+\left(-3a-3\right)y=24-4a-4$$

Suma 2\left(1+a\right)x a -2x-2xa. 2\left(1+a\right)x e -2x-2xa anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$\left(2b+4\right)y+\left(-3a-3\right)y=24-4a-4$$

Suma 2\left(2+b\right)y a -3y-3ya.

$$\left(1+2b-3a\right)y=24-4a-4$$

Suma 24 a -4-4a.

$$\left(1+2b-3a\right)y=20-4a$$

Divide ambos lados entre 2b+1-3a.

$$y=\frac{4\left(5-a\right)}{1+2b-3a}$$

Substitúe y por \frac{4\left(5-a\right)}{2b+1-3a} en 2x+3y=4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x+3\times \frac{4\left(5-a\right)}{1+2b-3a}=4$$

Multiplica 3 por \frac{4\left(5-a\right)}{2b+1-3a}.

$$2x+\frac{12\left(5-a\right)}{1+2b-3a}=4$$

Resta \frac{12\left(5-a\right)}{2b+1-3a} en ambos lados da ecuación.

$$2x=\frac{8\left(b-7\right)}{1+2b-3a}$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{4\left(b-7\right)}{1+2b-3a}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{4\left(b-7\right)}{1+2b-3a},y=\frac{4\left(5-a\right)}{1+2b-3a}$$