Resolver {l}{(A+B)3-B=6}{(2A+B)3^2-B=42}

$$\left. \begin{array} { l } { ( A + B ) 3 - B = 6 } \\ { ( 2 A + B ) 3 ^ { 2 } - B = 42 } \end{array} \right.$$

Resolver A, B

$$A=3$$

$$B = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar A+B por 3.

$$3A+3B-B=6$$

Combina 3B e -B para obter 2B.

$$3A+2B=6$$

Ten en conta a segunda ecuación. Calcula 3 á potencia de 2 e obtén 9.

$$\left(2A+B\right)\times 9-B=42$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2A+B por 9.

$$18A+9B-B=42$$

Combina 9B e -B para obter 8B.

$$18A+8B=42$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3A+2B=6,18A+8B=42$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a A mediante o illamento de A no lado esquerdo do signo igual.

$$3A+2B=6$$

Resta 2B en ambos lados da ecuación.

$$3A=-2B+6$$

Divide ambos lados entre 3.

$$A=\frac{1}{3}\left(-2B+6\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por -2B+6.

$$A=-\frac{2}{3}B+2$$

Substitúe A por -\frac{2B}{3}+2 na outra ecuación, 18A+8B=42.

$$18\left(-\frac{2}{3}B+2\right)+8B=42$$

Multiplica 18 por -\frac{2B}{3}+2.

$$-12B+36+8B=42$$

Suma -12B a 8B.

$$-4B+36=42$$

Resta 36 en ambos lados da ecuación.

$$-4B=6$$

Divide ambos lados entre -4.

$$B=-\frac{3}{2}$$

Substitúe B por -\frac{3}{2} en A=-\frac{2}{3}B+2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar A directamente.

$$A=-\frac{2}{3}\left(-\frac{3}{2}\right)+2$$

Multiplica -\frac{2}{3} por -\frac{3}{2} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$A=1+2$$

Suma 2 a 1.

$$A=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$A=3,B=-\frac{3}{2}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar A+B por 3.

$$3A+3B-B=6$$

Combina 3B e -B para obter 2B.

$$3A+2B=6$$

Ten en conta a segunda ecuación. Calcula 3 á potencia de 2 e obtén 9.

$$\left(2A+B\right)\times 9-B=42$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2A+B por 9.

$$18A+9B-B=42$$

Combina 9B e -B para obter 8B.

$$18A+8B=42$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3A+2B=6,18A+8B=42$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3\times 8-2\times 18}&-\frac{2}{3\times 8-2\times 18}\\-\frac{18}{3\times 8-2\times 18}&\frac{3}{3\times 8-2\times 18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}&\frac{1}{6}\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\times 6+\frac{1}{6}\times 42\\\frac{3}{2}\times 6-\frac{1}{4}\times 42\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz A e B.

$$A=3,B=-\frac{3}{2}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar A+B por 3.

$$3A+3B-B=6$$

Combina 3B e -B para obter 2B.

$$3A+2B=6$$

Ten en conta a segunda ecuación. Calcula 3 á potencia de 2 e obtén 9.

$$\left(2A+B\right)\times 9-B=42$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2A+B por 9.

$$18A+9B-B=42$$

Combina 9B e -B para obter 8B.

$$18A+8B=42$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3A+2B=6,18A+8B=42$$

Para que 3A e 18A sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 18 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$18\times 3A+18\times 2B=18\times 6,3\times 18A+3\times 8B=3\times 42$$

Simplifica.

$$54A+36B=108,54A+24B=126$$

Resta 54A+24B=126 de 54A+36B=108 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$54A-54A+36B-24B=108-126$$

Suma 54A a -54A. 54A e -54A anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$36B-24B=108-126$$

Suma 36B a -24B.

$$12B=108-126$$

Suma 108 a -126.

$$12B=-18$$

Divide ambos lados entre 12.

$$B=-\frac{3}{2}$$

Substitúe B por -\frac{3}{2} en 18A+8B=42. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar A directamente.

$$18A+8\left(-\frac{3}{2}\right)=42$$

Multiplica 8 por -\frac{3}{2}.

$$18A-12=42$$

Suma 12 en ambos lados da ecuación.

$$18A=54$$

Divide ambos lados entre 18.

$$A=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$A=3,B=-\frac{3}{2}$$