Resolver {l}{(x/a)+(y/b)=a+b}{(x/a^2)+(y/b^2)=2}

$$\left. \begin{array} { l } { ( \frac { x } { a } ) + ( \frac { y } { b } ) = a + b } \\ { ( \frac { x } { a ^ { 2 } } ) + ( \frac { y } { b ^ { 2 } } ) = 2 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=a^{2}\text{, }y=b^{2}\text{, }&b\neq 0\text{ and }a\neq 0\\x=2b^{2}-y\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&a=b\text{ and }b\neq 0\end{matrix}\right.$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$\frac{1}{a}x+\frac{1}{b}y=a+b,\frac{1}{a^{2}}x+\frac{1}{b^{2}}y=2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$\frac{1}{a}x+\frac{1}{b}y=a+b$$

Resta \frac{y}{b} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{1}{a}x=\left(-\frac{1}{b}\right)y+a+b$$

Multiplica ambos lados por a.

$$x=a\left(\left(-\frac{1}{b}\right)y+a+b\right)$$

Multiplica a por b+a-\frac{y}{b}.

$$x=\left(-\frac{a}{b}\right)y+a\left(a+b\right)$$

Substitúe x por \frac{a\left(b^{2}+ab-y\right)}{b} na outra ecuación, \frac{1}{a^{2}}x+\frac{1}{b^{2}}y=2.

$$\frac{1}{a^{2}}\left(\left(-\frac{a}{b}\right)y+a\left(a+b\right)\right)+\frac{1}{b^{2}}y=2$$

Multiplica a^{-2} por \frac{a\left(b^{2}+ab-y\right)}{b}.

$$\left(-\frac{1}{ab}\right)y+\frac{a+b}{a}+\frac{1}{b^{2}}y=2$$

Suma -\frac{y}{ba} a \frac{y}{b^{2}}.

$$\frac{a-b}{ab^{2}}y+\frac{a+b}{a}=2$$

Resta \frac{a+b}{a} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{a-b}{ab^{2}}y=\frac{a-b}{a}$$

Divide ambos lados entre \frac{-b+a}{ab^{2}}.

$$y=b^{2}$$

Substitúe y por b^{2} en x=\left(-\frac{a}{b}\right)y+a\left(a+b\right). Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\left(-\frac{a}{b}\right)b^{2}+a\left(a+b\right)$$

Multiplica -\frac{a}{b} por b^{2}.

$$x=-ab+a\left(a+b\right)$$

Suma a\left(a+b\right) a -ab.

$$x=a^{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=a^{2},y=b^{2}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$\frac{1}{a}x+\frac{1}{b}y=a+b,\frac{1}{a^{2}}x+\frac{1}{b^{2}}y=2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{a}&\frac{1}{b}\\\frac{1}{a^{2}}&\frac{1}{b^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}a+b\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}\frac{1}{a}&\frac{1}{b}\\\frac{1}{a^{2}}&\frac{1}{b^{2}}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{a}&\frac{1}{b}\\\frac{1}{a^{2}}&\frac{1}{b^{2}}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{a}&\frac{1}{b}\\\frac{1}{a^{2}}&\frac{1}{b^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{a}&\frac{1}{b}\\\frac{1}{a^{2}}&\frac{1}{b^{2}}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a+b\\2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{a}&\frac{1}{b}\\\frac{1}{a^{2}}&\frac{1}{b^{2}}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a+b\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{a}&\frac{1}{b}\\\frac{1}{a^{2}}&\frac{1}{b^{2}}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a+b\\2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{b^{2}\left(\frac{1}{a}\times \frac{1}{b^{2}}-\frac{1}{b}\times \frac{1}{a^{2}}\right)}&-\frac{\frac{1}{b}}{\frac{1}{a}\times \frac{1}{b^{2}}-\frac{1}{b}\times \frac{1}{a^{2}}}\\-\frac{\frac{1}{a^{2}}}{\frac{1}{a}\times \frac{1}{b^{2}}-\frac{1}{b}\times \frac{1}{a^{2}}}&\frac{1}{a\left(\frac{1}{a}\times \frac{1}{b^{2}}-\frac{1}{b}\times \frac{1}{a^{2}}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a+b\\2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a^{2}}{a-b}&-\frac{ba^{2}}{a-b}\\-\frac{b^{2}}{a-b}&\frac{ab^{2}}{a-b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a+b\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a^{2}}{a-b}\left(a+b\right)+\left(-\frac{ba^{2}}{a-b}\right)\times 2\\\left(-\frac{b^{2}}{a-b}\right)\left(a+b\right)+\frac{ab^{2}}{a-b}\times 2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}a^{2}\\b^{2}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=a^{2},y=b^{2}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$\frac{1}{a}x+\frac{1}{b}y=a+b,\frac{1}{a^{2}}x+\frac{1}{b^{2}}y=2$$

Para que \frac{x}{a} e \frac{x}{a^{2}} sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por a^{-2} e todos os termos a cada lado da segunda por a^{-1}.

$$\frac{1}{a^{2}}\times \frac{1}{a}x+\frac{1}{a^{2}}\times \frac{1}{b}y=\frac{1}{a^{2}}\left(a+b\right),\frac{1}{a}\times \frac{1}{a^{2}}x+\frac{1}{a}\times \frac{1}{b^{2}}y=\frac{1}{a}\times 2$$

Simplifica.

$$\frac{1}{a^{3}}x+\frac{1}{ba^{2}}y=\frac{a+b}{a^{2}},\frac{1}{a^{3}}x+\frac{1}{ab^{2}}y=\frac{2}{a}$$

Resta \frac{1}{a^{3}}x+\frac{1}{ab^{2}}y=\frac{2}{a} de \frac{1}{a^{3}}x+\frac{1}{ba^{2}}y=\frac{a+b}{a^{2}} mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$\frac{1}{a^{3}}x+\left(-\frac{1}{a^{3}}\right)x+\frac{1}{ba^{2}}y+\left(-\frac{1}{ab^{2}}\right)y=\frac{a+b}{a^{2}}-\frac{2}{a}$$

Suma \frac{x}{a^{3}} a -\frac{x}{a^{3}}. \frac{x}{a^{3}} e -\frac{x}{a^{3}} anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$\frac{1}{ba^{2}}y+\left(-\frac{1}{ab^{2}}\right)y=\frac{a+b}{a^{2}}-\frac{2}{a}$$

Suma \frac{y}{a^{2}b} a -\frac{y}{ab^{2}}.

$$\frac{b-a}{a^{2}b^{2}}y=\frac{a+b}{a^{2}}-\frac{2}{a}$$

Suma \frac{a+b}{a^{2}} a -\frac{2}{a}.

$$\frac{b-a}{a^{2}b^{2}}y=\frac{b-a}{a^{2}}$$

Divide ambos lados entre \frac{-a+b}{a^{2}b^{2}}.

$$y=b^{2}$$

Substitúe y por b^{2} en \frac{1}{a^{2}}x+\frac{1}{b^{2}}y=2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$\frac{1}{a^{2}}x+\frac{1}{b^{2}}b^{2}=2$$

Multiplica b^{-2} por b^{2}.

$$\frac{1}{a^{2}}x+1=2$$

Resta 1 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{1}{a^{2}}x=1$$

Divide ambos lados entre a^{-2}.

$$x=a^{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=a^{2},y=b^{2}$$

Resolver x, y

$$\left\{\begin{matrix}x=a^{2}\text{, }y=b^{2}\text{, }&a\neq b\text{ and }a\neq 0\text{ and }b\neq 0\\x=2a^{2}-y\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&b=a\text{ and }a\neq 0\end{matrix}\right.$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$\frac{1}{a}x+\frac{1}{b}y=a+b,\frac{1}{a^{2}}x+\frac{1}{b^{2}}y=2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$\frac{1}{a}x+\frac{1}{b}y=a+b$$

Resta \frac{y}{b} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{1}{a}x=\left(-\frac{1}{b}\right)y+a+b$$

Multiplica ambos lados por a.

$$x=a\left(\left(-\frac{1}{b}\right)y+a+b\right)$$

Multiplica a por b+a-\frac{y}{b}.

$$x=\left(-\frac{a}{b}\right)y+a\left(a+b\right)$$

Substitúe x por \frac{a\left(b^{2}+ab-y\right)}{b} na outra ecuación, \frac{1}{a^{2}}x+\frac{1}{b^{2}}y=2.

$$\frac{1}{a^{2}}\left(\left(-\frac{a}{b}\right)y+a\left(a+b\right)\right)+\frac{1}{b^{2}}y=2$$

Multiplica a^{-2} por \frac{a\left(b^{2}+ab-y\right)}{b}.

$$\left(-\frac{1}{ab}\right)y+\frac{a+b}{a}+\frac{1}{b^{2}}y=2$$

Suma -\frac{y}{ba} a \frac{y}{b^{2}}.

$$\frac{a-b}{ab^{2}}y+\frac{a+b}{a}=2$$

Resta \frac{a+b}{a} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{a-b}{ab^{2}}y=\frac{a-b}{a}$$

Divide ambos lados entre \frac{-b+a}{ab^{2}}.

$$y=b^{2}$$

Substitúe y por b^{2} en x=\left(-\frac{a}{b}\right)y+a\left(a+b\right). Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\left(-\frac{a}{b}\right)b^{2}+a\left(a+b\right)$$

Multiplica -\frac{a}{b} por b^{2}.

$$x=-ab+a\left(a+b\right)$$

Suma a\left(a+b\right) a -ab.

$$x=a^{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=a^{2},y=b^{2}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$\frac{1}{a}x+\frac{1}{b}y=a+b,\frac{1}{a^{2}}x+\frac{1}{b^{2}}y=2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{a}&\frac{1}{b}\\\frac{1}{a^{2}}&\frac{1}{b^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}a+b\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}\frac{1}{a}&\frac{1}{b}\\\frac{1}{a^{2}}&\frac{1}{b^{2}}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{a}&\frac{1}{b}\\\frac{1}{a^{2}}&\frac{1}{b^{2}}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{a}&\frac{1}{b}\\\frac{1}{a^{2}}&\frac{1}{b^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{a}&\frac{1}{b}\\\frac{1}{a^{2}}&\frac{1}{b^{2}}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a+b\\2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{a}&\frac{1}{b}\\\frac{1}{a^{2}}&\frac{1}{b^{2}}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a+b\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{a}&\frac{1}{b}\\\frac{1}{a^{2}}&\frac{1}{b^{2}}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a+b\\2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{b^{2}\left(\frac{1}{a}\times \frac{1}{b^{2}}-\frac{1}{b}\times \frac{1}{a^{2}}\right)}&-\frac{\frac{1}{b}}{\frac{1}{a}\times \frac{1}{b^{2}}-\frac{1}{b}\times \frac{1}{a^{2}}}\\-\frac{\frac{1}{a^{2}}}{\frac{1}{a}\times \frac{1}{b^{2}}-\frac{1}{b}\times \frac{1}{a^{2}}}&\frac{1}{a\left(\frac{1}{a}\times \frac{1}{b^{2}}-\frac{1}{b}\times \frac{1}{a^{2}}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a+b\\2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a^{2}}{a-b}&-\frac{ba^{2}}{a-b}\\-\frac{b^{2}}{a-b}&\frac{ab^{2}}{a-b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a+b\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a^{2}}{a-b}\left(a+b\right)+\left(-\frac{ba^{2}}{a-b}\right)\times 2\\\left(-\frac{b^{2}}{a-b}\right)\left(a+b\right)+\frac{ab^{2}}{a-b}\times 2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}a^{2}\\b^{2}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=a^{2},y=b^{2}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$\frac{1}{a}x+\frac{1}{b}y=a+b,\frac{1}{a^{2}}x+\frac{1}{b^{2}}y=2$$

Para que \frac{x}{a} e \frac{x}{a^{2}} sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por a^{-2} e todos os termos a cada lado da segunda por a^{-1}.

$$\frac{1}{a^{2}}\times \frac{1}{a}x+\frac{1}{a^{2}}\times \frac{1}{b}y=\frac{1}{a^{2}}\left(a+b\right),\frac{1}{a}\times \frac{1}{a^{2}}x+\frac{1}{a}\times \frac{1}{b^{2}}y=\frac{1}{a}\times 2$$

Simplifica.

$$\frac{1}{a^{3}}x+\frac{1}{ba^{2}}y=\frac{a+b}{a^{2}},\frac{1}{a^{3}}x+\frac{1}{ab^{2}}y=\frac{2}{a}$$

Resta \frac{1}{a^{3}}x+\frac{1}{ab^{2}}y=\frac{2}{a} de \frac{1}{a^{3}}x+\frac{1}{ba^{2}}y=\frac{a+b}{a^{2}} mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$\frac{1}{a^{3}}x+\left(-\frac{1}{a^{3}}\right)x+\frac{1}{ba^{2}}y+\left(-\frac{1}{ab^{2}}\right)y=\frac{a+b}{a^{2}}-\frac{2}{a}$$

Suma \frac{x}{a^{3}} a -\frac{x}{a^{3}}. \frac{x}{a^{3}} e -\frac{x}{a^{3}} anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$\frac{1}{ba^{2}}y+\left(-\frac{1}{ab^{2}}\right)y=\frac{a+b}{a^{2}}-\frac{2}{a}$$

Suma \frac{y}{a^{2}b} a -\frac{y}{ab^{2}}.

$$\frac{b-a}{\left(ab\right)^{2}}y=\frac{a+b}{a^{2}}-\frac{2}{a}$$

Suma \frac{a+b}{a^{2}} a -\frac{2}{a}.

$$\frac{b-a}{\left(ab\right)^{2}}y=\frac{b-a}{a^{2}}$$

Divide ambos lados entre \frac{-a+b}{\left(ab\right)^{2}}.

$$y=b^{2}$$

Substitúe y por b^{2} en \frac{1}{a^{2}}x+\frac{1}{b^{2}}y=2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$\frac{1}{a^{2}}x+\frac{1}{b^{2}}b^{2}=2$$

Multiplica b^{-2} por b^{2}.

$$\frac{1}{a^{2}}x+1=2$$

Resta 1 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{1}{a^{2}}x=1$$

Divide ambos lados entre a^{-2}.

$$x=a^{2}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=a^{2},y=b^{2}$$