Resolver {l}{text{onmethod.}5x-2y=4}{x=y-2}

$$\left. \begin{array} { l } { \text { on method. } 5 x - 2 y = 4 } \\ { x = y - 2 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

$$y = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3} \approx 4.666666667$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a segunda ecuación. Resta y en ambos lados.

$$x-y=-2$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5x-2y=4,x-y=-2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$5x-2y=4$$

Suma 2y en ambos lados da ecuación.

$$5x=2y+4$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+4\right)$$

Multiplica \frac{1}{5} por 4+2y.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{4}{5}$$

Substitúe x por \frac{4+2y}{5} na outra ecuación, x-y=-2.

$$\frac{2}{5}y+\frac{4}{5}-y=-2$$

Suma \frac{2y}{5} a -y.

$$-\frac{3}{5}y+\frac{4}{5}=-2$$

Resta \frac{4}{5} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{3}{5}y=-\frac{14}{5}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{3}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{14}{3}$$

Substitúe y por \frac{14}{3} en x=\frac{2}{5}y+\frac{4}{5}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{2}{5}\times \frac{14}{3}+\frac{4}{5}$$

Multiplica \frac{2}{5} por \frac{14}{3} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{28}{15}+\frac{4}{5}$$

Suma \frac{4}{5} a \frac{28}{15} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{8}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{8}{3},y=\frac{14}{3}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a segunda ecuación. Resta y en ambos lados.

$$x-y=-2$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5x-2y=4,x-y=-2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}&\frac{5}{5\left(-1\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 4-\frac{2}{3}\left(-2\right)\\\frac{1}{3}\times 4-\frac{5}{3}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3}\\\frac{14}{3}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{8}{3},y=\frac{14}{3}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a segunda ecuación. Resta y en ambos lados.

$$x-y=-2$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5x-2y=4,x-y=-2$$

Para que 5x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 5.

$$5x-2y=4,5x+5\left(-1\right)y=5\left(-2\right)$$

Simplifica.

$$5x-2y=4,5x-5y=-10$$

Resta 5x-5y=-10 de 5x-2y=4 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$5x-5x-2y+5y=4+10$$

Suma 5x a -5x. 5x e -5x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-2y+5y=4+10$$

Suma -2y a 5y.

$$3y=4+10$$

Suma 4 a 10.

$$3y=14$$

Divide ambos lados entre 3.

$$y=\frac{14}{3}$$

Substitúe y por \frac{14}{3} en x-y=-2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x-\frac{14}{3}=-2$$

Suma \frac{14}{3} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{8}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{8}{3},y=\frac{14}{3}$$