Resolver {l}{text{1}4x+2y=9}{5x-2y=11}

$$\left. \begin{array} { l } { \text { 1 } 4 x + 2 y = 9 } \\ { 5 x - 2 y = 11 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{20}{9} = 2\frac{2}{9} \approx 2.222222222$$

$$y=\frac{1}{18}\approx 0.055555556$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$4x+2y=9,5x-2y=11$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$4x+2y=9$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$4x=-2y+9$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+9\right)$$

Multiplica \frac{1}{4} por -2y+9.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{9}{4}$$

Substitúe x por -\frac{y}{2}+\frac{9}{4} na outra ecuación, 5x-2y=11.

$$5\left(-\frac{1}{2}y+\frac{9}{4}\right)-2y=11$$

Multiplica 5 por -\frac{y}{2}+\frac{9}{4}.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{45}{4}-2y=11$$

Suma -\frac{5y}{2} a -2y.

$$-\frac{9}{2}y+\frac{45}{4}=11$$

Resta \frac{45}{4} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{9}{2}y=-\frac{1}{4}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{9}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{1}{18}$$

Substitúe y por \frac{1}{18} en x=-\frac{1}{2}y+\frac{9}{4}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{1}{18}+\frac{9}{4}$$

Multiplica -\frac{1}{2} por \frac{1}{18} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{1}{36}+\frac{9}{4}$$

Suma \frac{9}{4} a -\frac{1}{36} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{20}{9}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{20}{9},y=\frac{1}{18}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$4x+2y=9,5x-2y=11$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&2\\5&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{4\left(-2\right)-2\times 5}&-\frac{2}{4\left(-2\right)-2\times 5}\\-\frac{5}{4\left(-2\right)-2\times 5}&\frac{4}{4\left(-2\right)-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&\frac{1}{9}\\\frac{5}{18}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 9+\frac{1}{9}\times 11\\\frac{5}{18}\times 9-\frac{2}{9}\times 11\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{9}\\\frac{1}{18}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{20}{9},y=\frac{1}{18}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$4x+2y=9,5x-2y=11$$

Para que 4x e 5x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 5 e todos os termos a cada lado da segunda por 4.

$$5\times 4x+5\times 2y=5\times 9,4\times 5x+4\left(-2\right)y=4\times 11$$

Simplifica.

$$20x+10y=45,20x-8y=44$$

Resta 20x-8y=44 de 20x+10y=45 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$20x-20x+10y+8y=45-44$$

Suma 20x a -20x. 20x e -20x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$10y+8y=45-44$$

Suma 10y a 8y.

$$18y=45-44$$

Suma 45 a -44.

$$18y=1$$

Divide ambos lados entre 18.

$$y=\frac{1}{18}$$

Substitúe y por \frac{1}{18} en 5x-2y=11. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$5x-2\times \frac{1}{18}=11$$

Multiplica -2 por \frac{1}{18}.

$$5x-\frac{1}{9}=11$$

Suma \frac{1}{9} en ambos lados da ecuación.

$$5x=\frac{100}{9}$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{20}{9}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{20}{9},y=\frac{1}{18}$$