Resolver {l}{y+2z/3=4}{5y/6+7z/3=8}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { y + 2 z } { 3 } = 4 } \\ { \frac { 5 y } { 6 } + \frac { 7 z } { 3 } = 8 } \end{array} \right.$$

Resolver y, z

$$y=18$$

$$z=-3$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados por 3.

$$y+2z=4\times 3$$

Multiplica 4 e 3 para obter 12.

$$y+2z=12$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 6, o mínimo común denominador de 6,3.

$$5y+2\times 7z=48$$

Multiplica 2 e 7 para obter 14.

$$5y+14z=48$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$y+2z=12,5y+14z=48$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$y+2z=12$$

Resta 2z en ambos lados da ecuación.

$$y=-2z+12$$

Substitúe y por -2z+12 na outra ecuación, 5y+14z=48.

$$5\left(-2z+12\right)+14z=48$$

Multiplica 5 por -2z+12.

$$-10z+60+14z=48$$

Suma -10z a 14z.

$$4z+60=48$$

Resta 60 en ambos lados da ecuación.

$$4z=-12$$

Divide ambos lados entre 4.

$$z=-3$$

Substitúe z por -3 en y=-2z+12. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=-2\left(-3\right)+12$$

Multiplica -2 por -3.

$$y=6+12$$

Suma 12 a 6.

$$y=18$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=18,z=-3$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados por 3.

$$y+2z=4\times 3$$

Multiplica 4 e 3 para obter 12.

$$y+2z=12$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 6, o mínimo común denominador de 6,3.

$$5y+2\times 7z=48$$

Multiplica 2 e 7 para obter 14.

$$5y+14z=48$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$y+2z=12,5y+14z=48$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{14}{14-2\times 5}&-\frac{2}{14-2\times 5}\\-\frac{5}{14-2\times 5}&\frac{1}{14-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{5}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2}\times 12-\frac{1}{2}\times 48\\-\frac{5}{4}\times 12+\frac{1}{4}\times 48\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\-3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e z.

$$y=18,z=-3$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados por 3.

$$y+2z=4\times 3$$

Multiplica 4 e 3 para obter 12.

$$y+2z=12$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 6, o mínimo común denominador de 6,3.

$$5y+2\times 7z=48$$

Multiplica 2 e 7 para obter 14.

$$5y+14z=48$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$y+2z=12,5y+14z=48$$

Para que y e 5y sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 5 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$5y+5\times 2z=5\times 12,5y+14z=48$$

Simplifica.

$$5y+10z=60,5y+14z=48$$

Resta 5y+14z=48 de 5y+10z=60 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$5y-5y+10z-14z=60-48$$

Suma 5y a -5y. 5y e -5y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$10z-14z=60-48$$

Suma 10z a -14z.

$$-4z=60-48$$

Suma 60 a -48.

$$-4z=12$$

Divide ambos lados entre -4.

$$z=-3$$

Substitúe z por -3 en 5y+14z=48. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$5y+14\left(-3\right)=48$$

Multiplica 14 por -3.

$$5y-42=48$$

Suma 42 en ambos lados da ecuación.

$$5y=90$$

Divide ambos lados entre 5.

$$y=18$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=18,z=-3$$