Resolver {l}{y+1/3x-4=1/2}{5x+y/3x+11=1}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { y + 1 } { 3 x - 4 } = \frac { 1 } { 2 } } \\ { \frac { 5 x + y } { 3 x + 11 } = 1 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x=4$$

$$y=3$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. A variable x non pode ser igual a \frac{4}{3} porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por 2\left(3x-4\right), o mínimo común denominador de 3x-4,2.

$$2\left(y+1\right)=3x-4$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por y+1.

$$2y+2=3x-4$$

Resta 3x en ambos lados.

$$2y+2-3x=-4$$

Resta 2 en ambos lados.

$$2y-3x=-4-2$$

Resta 2 de -4 para obter -6.

$$2y-3x=-6$$

Ten en conta a segunda ecuación. A variable x non pode ser igual a -\frac{11}{3} porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por 3x+11.

$$5x+y=3x+11$$

Resta 3x en ambos lados.

$$5x+y-3x=11$$

Combina 5x e -3x para obter 2x.

$$2x+y=11$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2y-3x=-6,y+2x=11$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$2y-3x=-6$$

Suma 3x en ambos lados da ecuación.

$$2y=3x-6$$

Divide ambos lados entre 2.

$$y=\frac{1}{2}\left(3x-6\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -6+3x.

$$y=\frac{3}{2}x-3$$

Substitúe y por \frac{3x}{2}-3 na outra ecuación, y+2x=11.

$$\frac{3}{2}x-3+2x=11$$

Suma \frac{3x}{2} a 2x.

$$\frac{7}{2}x-3=11$$

Suma 3 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{7}{2}x=14$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{7}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=4$$

Substitúe x por 4 en y=\frac{3}{2}x-3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=\frac{3}{2}\times 4-3$$

Multiplica \frac{3}{2} por 4.

$$y=6-3$$

Suma -3 a 6.

$$y=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=3,x=4$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. A variable x non pode ser igual a \frac{4}{3} porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por 2\left(3x-4\right), o mínimo común denominador de 3x-4,2.

$$2\left(y+1\right)=3x-4$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por y+1.

$$2y+2=3x-4$$

Resta 3x en ambos lados.

$$2y+2-3x=-4$$

Resta 2 en ambos lados.

$$2y-3x=-4-2$$

Resta 2 de -4 para obter -6.

$$2y-3x=-6$$

Ten en conta a segunda ecuación. A variable x non pode ser igual a -\frac{11}{3} porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por 3x+11.

$$5x+y=3x+11$$

Resta 3x en ambos lados.

$$5x+y-3x=11$$

Combina 5x e -3x para obter 2x.

$$2x+y=11$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2y-3x=-6,y+2x=11$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2\times 2-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\left(-6\right)+\frac{3}{7}\times 11\\-\frac{1}{7}\left(-6\right)+\frac{2}{7}\times 11\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=3,x=4$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. A variable x non pode ser igual a \frac{4}{3} porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por 2\left(3x-4\right), o mínimo común denominador de 3x-4,2.

$$2\left(y+1\right)=3x-4$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por y+1.

$$2y+2=3x-4$$

Resta 3x en ambos lados.

$$2y+2-3x=-4$$

Resta 2 en ambos lados.

$$2y-3x=-4-2$$

Resta 2 de -4 para obter -6.

$$2y-3x=-6$$

Ten en conta a segunda ecuación. A variable x non pode ser igual a -\frac{11}{3} porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por 3x+11.

$$5x+y=3x+11$$

Resta 3x en ambos lados.

$$5x+y-3x=11$$

Combina 5x e -3x para obter 2x.

$$2x+y=11$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2y-3x=-6,y+2x=11$$

Para que 2y e y sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$2y-3x=-6,2y+2\times 2x=2\times 11$$

Simplifica.

$$2y-3x=-6,2y+4x=22$$

Resta 2y+4x=22 de 2y-3x=-6 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2y-2y-3x-4x=-6-22$$

Suma 2y a -2y. 2y e -2y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-3x-4x=-6-22$$

Suma -3x a -4x.

$$-7x=-6-22$$

Suma -6 a -22.

$$-7x=-28$$

Divide ambos lados entre -7.

$$x=4$$

Substitúe x por 4 en y+2x=11. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y+2\times 4=11$$

Multiplica 2 por 4.

$$y+8=11$$

Resta 8 en ambos lados da ecuación.

$$y=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=3,x=4$$