Resolver {l}{x-3/5=y-7/2}{11x=13y}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x - 3 } { 5 } = \frac { y - 7 } { 2 } } \\ { 11 x = 13 y } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=13$$

$$y=11$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 10, o mínimo común denominador de 5,2.

$$2\left(x-3\right)=5\left(y-7\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por x-3.

$$2x-6=5\left(y-7\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 5 por y-7.

$$2x-6=5y-35$$

Resta 5y en ambos lados.

$$2x-6-5y=-35$$

Engadir 6 en ambos lados.

$$2x-5y=-35+6$$

Suma -35 e 6 para obter -29.

$$2x-5y=-29$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 13y en ambos lados.

$$11x-13y=0$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x-5y=-29,11x-13y=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x-5y=-29$$

Suma 5y en ambos lados da ecuación.

$$2x=5y-29$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(5y-29\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por 5y-29.

$$x=\frac{5}{2}y-\frac{29}{2}$$

Substitúe x por \frac{5y-29}{2} na outra ecuación, 11x-13y=0.

$$11\left(\frac{5}{2}y-\frac{29}{2}\right)-13y=0$$

Multiplica 11 por \frac{5y-29}{2}.

$$\frac{55}{2}y-\frac{319}{2}-13y=0$$

Suma \frac{55y}{2} a -13y.

$$\frac{29}{2}y-\frac{319}{2}=0$$

Suma \frac{319}{2} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{29}{2}y=\frac{319}{2}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{29}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=11$$

Substitúe y por 11 en x=\frac{5}{2}y-\frac{29}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{5}{2}\times 11-\frac{29}{2}$$

Multiplica \frac{5}{2} por 11.

$$x=\frac{55-29}{2}$$

Suma -\frac{29}{2} a \frac{55}{2} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=13$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=13,y=11$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 10, o mínimo común denominador de 5,2.

$$2\left(x-3\right)=5\left(y-7\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por x-3.

$$2x-6=5\left(y-7\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 5 por y-7.

$$2x-6=5y-35$$

Resta 5y en ambos lados.

$$2x-6-5y=-35$$

Engadir 6 en ambos lados.

$$2x-5y=-35+6$$

Suma -35 e 6 para obter -29.

$$2x-5y=-29$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 13y en ambos lados.

$$11x-13y=0$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x-5y=-29,11x-13y=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\11&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{2\left(-13\right)-\left(-5\times 11\right)}&-\frac{-5}{2\left(-13\right)-\left(-5\times 11\right)}\\-\frac{11}{2\left(-13\right)-\left(-5\times 11\right)}&\frac{2}{2\left(-13\right)-\left(-5\times 11\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{29}&\frac{5}{29}\\-\frac{11}{29}&\frac{2}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-29\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{29}\left(-29\right)\\-\frac{11}{29}\left(-29\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=13,y=11$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 10, o mínimo común denominador de 5,2.

$$2\left(x-3\right)=5\left(y-7\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por x-3.

$$2x-6=5\left(y-7\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 5 por y-7.

$$2x-6=5y-35$$

Resta 5y en ambos lados.

$$2x-6-5y=-35$$

Engadir 6 en ambos lados.

$$2x-5y=-35+6$$

Suma -35 e 6 para obter -29.

$$2x-5y=-29$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 13y en ambos lados.

$$11x-13y=0$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x-5y=-29,11x-13y=0$$

Para que 2x e 11x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 11 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$11\times 2x+11\left(-5\right)y=11\left(-29\right),2\times 11x+2\left(-13\right)y=0$$

Simplifica.

$$22x-55y=-319,22x-26y=0$$

Resta 22x-26y=0 de 22x-55y=-319 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$22x-22x-55y+26y=-319$$

Suma 22x a -22x. 22x e -22x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-55y+26y=-319$$

Suma -55y a 26y.

$$-29y=-319$$

Divide ambos lados entre -29.

$$y=11$$

Substitúe y por 11 en 11x-13y=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$11x-13\times 11=0$$

Multiplica -13 por 11.

$$11x-143=0$$

Suma 143 en ambos lados da ecuación.

$$11x=143$$

Divide ambos lados entre 11.

$$x=13$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=13,y=11$$