Resolver {l}{x/47+y=86}{x+y/25=49}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 47 } + y = 86 } \\ { x + \frac { y } { 25 } = 49 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{53533}{1174} = 45\frac{703}{1174} \approx 45.598807496$$

$$y = \frac{99825}{1174} = 85\frac{35}{1174} \approx 85.029812606$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$\frac{1}{47}x+y=86,x+\frac{1}{25}y=49$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$\frac{1}{47}x+y=86$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$\frac{1}{47}x=-y+86$$

Multiplica ambos lados por 47.

$$x=47\left(-y+86\right)$$

Multiplica 47 por -y+86.

$$x=-47y+4042$$

Substitúe x por -47y+4042 na outra ecuación, x+\frac{1}{25}y=49.

$$-47y+4042+\frac{1}{25}y=49$$

Suma -47y a \frac{y}{25}.

$$-\frac{1174}{25}y+4042=49$$

Resta 4042 en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{1174}{25}y=-3993$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{1174}{25}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{99825}{1174}$$

Substitúe y por \frac{99825}{1174} en x=-47y+4042. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-47\times \frac{99825}{1174}+4042$$

Multiplica -47 por \frac{99825}{1174}.

$$x=-\frac{4691775}{1174}+4042$$

Suma 4042 a -\frac{4691775}{1174}.

$$x=\frac{53533}{1174}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{53533}{1174},y=\frac{99825}{1174}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$\frac{1}{47}x+y=86,x+\frac{1}{25}y=49$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{47}&1\\1&\frac{1}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}86\\49\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}\frac{1}{47}&1\\1&\frac{1}{25}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{47}&1\\1&\frac{1}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{47}&1\\1&\frac{1}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{47}&1\\1&\frac{1}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}86\\49\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{47}&1\\1&\frac{1}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}86\\49\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{47}&1\\1&\frac{1}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}86\\49\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{25}}{\frac{1}{47}\times \frac{1}{25}-1}&-\frac{1}{\frac{1}{47}\times \frac{1}{25}-1}\\-\frac{1}{\frac{1}{47}\times \frac{1}{25}-1}&\frac{\frac{1}{47}}{\frac{1}{47}\times \frac{1}{25}-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}86\\49\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{47}{1174}&\frac{1175}{1174}\\\frac{1175}{1174}&-\frac{25}{1174}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}86\\49\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{47}{1174}\times 86+\frac{1175}{1174}\times 49\\\frac{1175}{1174}\times 86-\frac{25}{1174}\times 49\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{53533}{1174}\\\frac{99825}{1174}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{53533}{1174},y=\frac{99825}{1174}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$\frac{1}{47}x+y=86,x+\frac{1}{25}y=49$$

Para que \frac{x}{47} e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por \frac{1}{47}.

$$\frac{1}{47}x+y=86,\frac{1}{47}x+\frac{1}{47}\times \frac{1}{25}y=\frac{1}{47}\times 49$$

Simplifica.

$$\frac{1}{47}x+y=86,\frac{1}{47}x+\frac{1}{1175}y=\frac{49}{47}$$

Resta \frac{1}{47}x+\frac{1}{1175}y=\frac{49}{47} de \frac{1}{47}x+y=86 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$\frac{1}{47}x-\frac{1}{47}x+y-\frac{1}{1175}y=86-\frac{49}{47}$$

Suma \frac{x}{47} a -\frac{x}{47}. \frac{x}{47} e -\frac{x}{47} anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$y-\frac{1}{1175}y=86-\frac{49}{47}$$

Suma y a -\frac{y}{1175}.

$$\frac{1174}{1175}y=86-\frac{49}{47}$$

Suma 86 a -\frac{49}{47}.

$$\frac{1174}{1175}y=\frac{3993}{47}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{1174}{1175}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{99825}{1174}$$

Substitúe y por \frac{99825}{1174} en x+\frac{1}{25}y=49. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x+\frac{1}{25}\times \frac{99825}{1174}=49$$

Multiplica \frac{1}{25} por \frac{99825}{1174} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x+\frac{3993}{1174}=49$$

Resta \frac{3993}{1174} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{53533}{1174}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{53533}{1174},y=\frac{99825}{1174}$$