Resolver {l}{x/36-y=21}{x-y/20=16}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 36 } - y = 21 } \\ { x - \frac { y } { 20 } = 16 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{10764}{719} = 14\frac{698}{719} \approx 14.970792768$$

$$y = -\frac{14800}{719} = -20\frac{420}{719} \approx -20.584144645$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 36.

$$x-36y=756$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 20.

$$20x-y=320$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x-36y=756,20x-y=320$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x-36y=756$$

Suma 36y en ambos lados da ecuación.

$$x=36y+756$$

Substitúe x por 756+36y na outra ecuación, 20x-y=320.

$$20\left(36y+756\right)-y=320$$

Multiplica 20 por 756+36y.

$$720y+15120-y=320$$

Suma 720y a -y.

$$719y+15120=320$$

Resta 15120 en ambos lados da ecuación.

$$719y=-14800$$

Divide ambos lados entre 719.

$$y=-\frac{14800}{719}$$

Substitúe y por -\frac{14800}{719} en x=36y+756. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=36\left(-\frac{14800}{719}\right)+756$$

Multiplica 36 por -\frac{14800}{719}.

$$x=-\frac{532800}{719}+756$$

Suma 756 a -\frac{532800}{719}.

$$x=\frac{10764}{719}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{10764}{719},y=-\frac{14800}{719}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 36.

$$x-36y=756$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 20.

$$20x-y=320$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x-36y=756,20x-y=320$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-36\\20&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-36\times 20\right)}&-\frac{-36}{-1-\left(-36\times 20\right)}\\-\frac{20}{-1-\left(-36\times 20\right)}&\frac{1}{-1-\left(-36\times 20\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{719}&\frac{36}{719}\\-\frac{20}{719}&\frac{1}{719}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}756\\320\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{719}\times 756+\frac{36}{719}\times 320\\-\frac{20}{719}\times 756+\frac{1}{719}\times 320\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10764}{719}\\-\frac{14800}{719}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{10764}{719},y=-\frac{14800}{719}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 36.

$$x-36y=756$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 20.

$$20x-y=320$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x-36y=756,20x-y=320$$

Para que x e 20x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 20 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$20x+20\left(-36\right)y=20\times 756,20x-y=320$$

Simplifica.

$$20x-720y=15120,20x-y=320$$

Resta 20x-y=320 de 20x-720y=15120 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$20x-20x-720y+y=15120-320$$

Suma 20x a -20x. 20x e -20x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-720y+y=15120-320$$

Suma -720y a y.

$$-719y=15120-320$$

Suma 15120 a -320.

$$-719y=14800$$

Divide ambos lados entre -719.

$$y=-\frac{14800}{719}$$

Substitúe y por -\frac{14800}{719} en 20x-y=320. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$20x-\left(-\frac{14800}{719}\right)=320$$

Resta \frac{14800}{719} en ambos lados da ecuación.

$$20x=\frac{215280}{719}$$

Divide ambos lados entre 20.

$$x=\frac{10764}{719}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{10764}{719},y=-\frac{14800}{719}$$