Resolver {l}{x/3-y/2=8}{x/5+y/3=1}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } - \frac { y } { 2 } = 8 } \\ { \frac { x } { 5 } + \frac { y } { 3 } = 1 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=15$$

$$y=-6$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 6, o mínimo común denominador de 3,2.

$$2x-3y=48$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 15, o mínimo común denominador de 5,3.

$$3x+5y=15$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x-3y=48,3x+5y=15$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x-3y=48$$

Suma 3y en ambos lados da ecuación.

$$2x=3y+48$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+48\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por 48+3y.

$$x=\frac{3}{2}y+24$$

Substitúe x por \frac{3y}{2}+24 na outra ecuación, 3x+5y=15.

$$3\left(\frac{3}{2}y+24\right)+5y=15$$

Multiplica 3 por \frac{3y}{2}+24.

$$\frac{9}{2}y+72+5y=15$$

Suma \frac{9y}{2} a 5y.

$$\frac{19}{2}y+72=15$$

Resta 72 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{19}{2}y=-57$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{19}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-6$$

Substitúe y por -6 en x=\frac{3}{2}y+24. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{3}{2}\left(-6\right)+24$$

Multiplica \frac{3}{2} por -6.

$$x=-9+24$$

Suma 24 a -9.

$$x=15$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=15,y=-6$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 6, o mínimo común denominador de 3,2.

$$2x-3y=48$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 15, o mínimo común denominador de 5,3.

$$3x+5y=15$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x-3y=48,3x+5y=15$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}&\frac{3}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}\times 48+\frac{3}{19}\times 15\\-\frac{3}{19}\times 48+\frac{2}{19}\times 15\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-6\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=15,y=-6$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 6, o mínimo común denominador de 3,2.

$$2x-3y=48$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 15, o mínimo común denominador de 5,3.

$$3x+5y=15$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x-3y=48,3x+5y=15$$

Para que 2x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 48,2\times 3x+2\times 5y=2\times 15$$

Simplifica.

$$6x-9y=144,6x+10y=30$$

Resta 6x+10y=30 de 6x-9y=144 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6x-6x-9y-10y=144-30$$

Suma 6x a -6x. 6x e -6x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-9y-10y=144-30$$

Suma -9y a -10y.

$$-19y=144-30$$

Suma 144 a -30.

$$-19y=114$$

Divide ambos lados entre -19.

$$y=-6$$

Substitúe y por -6 en 3x+5y=15. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x+5\left(-6\right)=15$$

Multiplica 5 por -6.

$$3x-30=15$$

Suma 30 en ambos lados da ecuación.

$$3x=45$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=15$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=15,y=-6$$