Resolver {l}{x/3+y/5=7}{x/6-2y/5=-4}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 5 } = 7 } \\ { \frac { x } { 6 } - \frac { 2 y } { 5 } = - 4 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=12$$

$$y=15$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 15, o mínimo común denominador de 3,5.

$$5x+3y=105$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 30, o mínimo común denominador de 6,5.

$$5x-6\times 2y=-120$$

Multiplica -6 e 2 para obter -12.

$$5x-12y=-120$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5x+3y=105,5x-12y=-120$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$5x+3y=105$$

Resta 3y en ambos lados da ecuación.

$$5x=-3y+105$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+105\right)$$

Multiplica \frac{1}{5} por -3y+105.

$$x=-\frac{3}{5}y+21$$

Substitúe x por -\frac{3y}{5}+21 na outra ecuación, 5x-12y=-120.

$$5\left(-\frac{3}{5}y+21\right)-12y=-120$$

Multiplica 5 por -\frac{3y}{5}+21.

$$-3y+105-12y=-120$$

Suma -3y a -12y.

$$-15y+105=-120$$

Resta 105 en ambos lados da ecuación.

$$-15y=-225$$

Divide ambos lados entre -15.

$$y=15$$

Substitúe y por 15 en x=-\frac{3}{5}y+21. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{3}{5}\times 15+21$$

Multiplica -\frac{3}{5} por 15.

$$x=-9+21$$

Suma 21 a -9.

$$x=12$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=12,y=15$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 15, o mínimo común denominador de 3,5.

$$5x+3y=105$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 30, o mínimo común denominador de 6,5.

$$5x-6\times 2y=-120$$

Multiplica -6 e 2 para obter -12.

$$5x-12y=-120$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5x+3y=105,5x-12y=-120$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\5&-12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{5\left(-12\right)-3\times 5}&-\frac{3}{5\left(-12\right)-3\times 5}\\-\frac{5}{5\left(-12\right)-3\times 5}&\frac{5}{5\left(-12\right)-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}&\frac{1}{25}\\\frac{1}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\-120\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}\times 105+\frac{1}{25}\left(-120\right)\\\frac{1}{15}\times 105-\frac{1}{15}\left(-120\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\15\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=12,y=15$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 15, o mínimo común denominador de 3,5.

$$5x+3y=105$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 30, o mínimo común denominador de 6,5.

$$5x-6\times 2y=-120$$

Multiplica -6 e 2 para obter -12.

$$5x-12y=-120$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5x+3y=105,5x-12y=-120$$

Resta 5x-12y=-120 de 5x+3y=105 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$5x-5x+3y+12y=105+120$$

Suma 5x a -5x. 5x e -5x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$3y+12y=105+120$$

Suma 3y a 12y.

$$15y=105+120$$

Suma 105 a 120.

$$15y=225$$

Divide ambos lados entre 15.

$$y=15$$

Substitúe y por 15 en 5x-12y=-120. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$5x-12\times 15=-120$$

Multiplica -12 por 15.

$$5x-180=-120$$

Suma 180 en ambos lados da ecuación.

$$5x=60$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=12$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=12,y=15$$