Resolver {l}{x/2+y/3=10}{x+y=30}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 2 } + \frac { y } { 3 } = 10 } \\ { x + y = 30 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=0$$

$$y=30$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=10,x+y=30$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=10$$

Resta \frac{y}{3} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{1}{2}x=-\frac{1}{3}y+10$$

Multiplica ambos lados por 2.

$$x=2\left(-\frac{1}{3}y+10\right)$$

Multiplica 2 por -\frac{y}{3}+10.

$$x=-\frac{2}{3}y+20$$

Substitúe x por -\frac{2y}{3}+20 na outra ecuación, x+y=30.

$$-\frac{2}{3}y+20+y=30$$

Suma -\frac{2y}{3} a y.

$$\frac{1}{3}y+20=30$$

Resta 20 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{1}{3}y=10$$

Multiplica ambos lados por 3.

$$y=30$$

Substitúe y por 30 en x=-\frac{2}{3}y+20. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{2}{3}\times 30+20$$

Multiplica -\frac{2}{3} por 30.

$$x=-20+20$$

Suma 20 a -20.

$$x=0$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=0,y=30$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=10,x+y=30$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}&-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}\\-\frac{1}{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}&\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6&-2\\-6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\times 10-2\times 30\\-6\times 10+3\times 30\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\30\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=0,y=30$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=10,x+y=30$$

Para que \frac{x}{2} e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por \frac{1}{2}.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=10,\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=\frac{1}{2}\times 30$$

Simplifica.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=10,\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=15$$

Resta \frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=15 de \frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=10 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y-\frac{1}{2}y=10-15$$

Suma \frac{x}{2} a -\frac{x}{2}. \frac{x}{2} e -\frac{x}{2} anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$\frac{1}{3}y-\frac{1}{2}y=10-15$$

Suma \frac{y}{3} a -\frac{y}{2}.

$$-\frac{1}{6}y=10-15$$

Suma 10 a -15.

$$-\frac{1}{6}y=-5$$

Multiplica ambos lados por -6.

$$y=30$$

Substitúe y por 30 en x+y=30. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x+30=30$$

Resta 30 en ambos lados da ecuación.

$$x=0$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=0,y=30$$