Resolver {l}{x^2/9+y^2/4=1}{3x+4y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x ^ { 2 } } { 9 } + \frac { y ^ { 2 } } { 4 } = 1 } \\ { 3 x + 4 y = 1 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{63}{29}\approx 2.172413793\text{, }y=-\frac{40}{29}\approx -1.379310345$$

$$x=-\frac{9}{5}=-1.8\text{, }y=\frac{8}{5}=1.6$$

Pasos que usan substitución e fórmula cadrática

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 36, o mínimo común denominador de 9,4.

$$4x^{2}+9y^{2}=36$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x+4y=1,9y^{2}+4x^{2}=36$$

Resolve o x en 3x+4y=1 mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x+4y=1$$

Resta 4y en ambos lados da ecuación.

$$3x=-4y+1$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}$$

Substitúe x por -\frac{4}{3}y+\frac{1}{3} na outra ecuación, 9y^{2}+4x^{2}=36.

$$9y^{2}+4\left(-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}\right)^{2}=36$$

Eleva -\frac{4}{3}y+\frac{1}{3} ao cadrado.

$$9y^{2}+4\left(\frac{16}{9}y^{2}-\frac{8}{9}y+\frac{1}{9}\right)=36$$

Multiplica 4 por \frac{16}{9}y^{2}-\frac{8}{9}y+\frac{1}{9}.

$$9y^{2}+\frac{64}{9}y^{2}-\frac{32}{9}y+\frac{4}{9}=36$$

Suma 9y^{2} a \frac{64}{9}y^{2}.

$$\frac{145}{9}y^{2}-\frac{32}{9}y+\frac{4}{9}=36$$

Resta 36 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{145}{9}y^{2}-\frac{32}{9}y-\frac{320}{9}=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 9+4\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}, b por 4\times \frac{1}{3}\left(-\frac{4}{3}\right)\times 2 e c por -\frac{320}{9} na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\left(-\frac{32}{9}\right)^{2}-4\times \frac{145}{9}\left(-\frac{320}{9}\right)}}{2\times \frac{145}{9}}$$

Eleva 4\times \frac{1}{3}\left(-\frac{4}{3}\right)\times 2 ao cadrado.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\frac{1024}{81}-4\times \frac{145}{9}\left(-\frac{320}{9}\right)}}{2\times \frac{145}{9}}$$

Multiplica -4 por 9+4\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\frac{1024}{81}-\frac{580}{9}\left(-\frac{320}{9}\right)}}{2\times \frac{145}{9}}$$

Multiplica -\frac{580}{9} por -\frac{320}{9} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{\frac{1024+185600}{81}}}{2\times \frac{145}{9}}$$

Suma \frac{1024}{81} a \frac{185600}{81} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±\sqrt{2304}}{2\times \frac{145}{9}}$$

Obtén a raíz cadrada de 2304.

$$y=\frac{-\left(-\frac{32}{9}\right)±48}{2\times \frac{145}{9}}$$

O contrario de 4\times \frac{1}{3}\left(-\frac{4}{3}\right)\times 2 é \frac{32}{9}.

$$y=\frac{\frac{32}{9}±48}{2\times \frac{145}{9}}$$

Multiplica 2 por 9+4\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}.

$$y=\frac{\frac{32}{9}±48}{\frac{290}{9}}$$

Agora resolve a ecuación y=\frac{\frac{32}{9}±48}{\frac{290}{9}} se ± é máis. Suma \frac{32}{9} a 48.

$$y=\frac{\frac{464}{9}}{\frac{290}{9}}$$

Divide \frac{464}{9} entre \frac{290}{9} mediante a multiplicación de \frac{464}{9} polo recíproco de \frac{290}{9}.

$$y=\frac{8}{5}$$

Agora resolve a ecuación y=\frac{\frac{32}{9}±48}{\frac{290}{9}} se ± é menos. Resta 48 de \frac{32}{9}.

$$y=-\frac{\frac{400}{9}}{\frac{290}{9}}$$

Divide -\frac{400}{9} entre \frac{290}{9} mediante a multiplicación de -\frac{400}{9} polo recíproco de \frac{290}{9}.

$$y=-\frac{40}{29}$$

Hai dúas solucións para y: \frac{8}{5} e -\frac{40}{29}. Substitúe y por \frac{8}{5} na ecuación x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3} para obter a solución de x que satisfaga ambas ecuacións.

$$x=-\frac{4}{3}\times \frac{8}{5}+\frac{1}{3}$$

Multiplica -\frac{4}{3} por \frac{8}{5} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{32}{15}+\frac{1}{3}$$

Suma -\frac{4}{3}\times \frac{8}{5} a \frac{1}{3}.

$$x=-\frac{9}{5}$$

Agora substitúe y por -\frac{40}{29} na ecuación x=-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3} e resólvea para atopar a solución de x que resolva ambas ecuacións.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-\frac{40}{29}\right)+\frac{1}{3}$$

Multiplica -\frac{4}{3} por -\frac{40}{29} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{160}{87}+\frac{1}{3}$$

Suma -\frac{40}{29}\left(-\frac{4}{3}\right) a \frac{1}{3}.

$$x=\frac{63}{29}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{9}{5},y=\frac{8}{5}\text{ or }x=\frac{63}{29},y=-\frac{40}{29}$$