Resolver {l}{x+2/2+y-5/5=x/4+1}{x+y=x-1/3+3}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x + 2 } { 2 } + \frac { y - 5 } { 5 } = \frac { x } { 4 } + 1 } \\ { x + y = \frac { x - 1 } { 3 } + 3 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=4$$

$$y=0$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 20, o mínimo común denominador de 2,5,4.

$$10\left(x+2\right)+4\left(y-5\right)=5x+20$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 10 por x+2.

$$10x+20+4\left(y-5\right)=5x+20$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 4 por y-5.

$$10x+20+4y-20=5x+20$$

Resta 20 de 20 para obter 0.

$$10x+4y=5x+20$$

Resta 5x en ambos lados.

$$10x+4y-5x=20$$

Combina 10x e -5x para obter 5x.

$$5x+4y=20$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 3.

$$3x+3y=x-1+9$$

Suma -1 e 9 para obter 8.

$$3x+3y=x+8$$

Resta x en ambos lados.

$$3x+3y-x=8$$

Combina 3x e -x para obter 2x.

$$2x+3y=8$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5x+4y=20,2x+3y=8$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$5x+4y=20$$

Resta 4y en ambos lados da ecuación.

$$5x=-4y+20$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-4y+20\right)$$

Multiplica \frac{1}{5} por -4y+20.

$$x=-\frac{4}{5}y+4$$

Substitúe x por -\frac{4y}{5}+4 na outra ecuación, 2x+3y=8.

$$2\left(-\frac{4}{5}y+4\right)+3y=8$$

Multiplica 2 por -\frac{4y}{5}+4.

$$-\frac{8}{5}y+8+3y=8$$

Suma -\frac{8y}{5} a 3y.

$$\frac{7}{5}y+8=8$$

Resta 8 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{7}{5}y=0$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{7}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=0$$

Substitúe y por 0 en x=-\frac{4}{5}y+4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=4,y=0$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 20, o mínimo común denominador de 2,5,4.

$$10\left(x+2\right)+4\left(y-5\right)=5x+20$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 10 por x+2.

$$10x+20+4\left(y-5\right)=5x+20$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 4 por y-5.

$$10x+20+4y-20=5x+20$$

Resta 20 de 20 para obter 0.

$$10x+4y=5x+20$$

Resta 5x en ambos lados.

$$10x+4y-5x=20$$

Combina 10x e -5x para obter 5x.

$$5x+4y=20$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 3.

$$3x+3y=x-1+9$$

Suma -1 e 9 para obter 8.

$$3x+3y=x+8$$

Resta x en ambos lados.

$$3x+3y-x=8$$

Combina 3x e -x para obter 2x.

$$2x+3y=8$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5x+4y=20,2x+3y=8$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-4\times 2}&-\frac{4}{5\times 3-4\times 2}\\-\frac{2}{5\times 3-4\times 2}&\frac{5}{5\times 3-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{4}{7}\\-\frac{2}{7}&\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 20-\frac{4}{7}\times 8\\-\frac{2}{7}\times 20+\frac{5}{7}\times 8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\0\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=4,y=0$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 20, o mínimo común denominador de 2,5,4.

$$10\left(x+2\right)+4\left(y-5\right)=5x+20$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 10 por x+2.

$$10x+20+4\left(y-5\right)=5x+20$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 4 por y-5.

$$10x+20+4y-20=5x+20$$

Resta 20 de 20 para obter 0.

$$10x+4y=5x+20$$

Resta 5x en ambos lados.

$$10x+4y-5x=20$$

Combina 10x e -5x para obter 5x.

$$5x+4y=20$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 3.

$$3x+3y=x-1+9$$

Suma -1 e 9 para obter 8.

$$3x+3y=x+8$$

Resta x en ambos lados.

$$3x+3y-x=8$$

Combina 3x e -x para obter 2x.

$$2x+3y=8$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5x+4y=20,2x+3y=8$$

Para que 5x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 5.

$$2\times 5x+2\times 4y=2\times 20,5\times 2x+5\times 3y=5\times 8$$

Simplifica.

$$10x+8y=40,10x+15y=40$$

Resta 10x+15y=40 de 10x+8y=40 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$10x-10x+8y-15y=40-40$$

Suma 10x a -10x. 10x e -10x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$8y-15y=40-40$$

Suma 8y a -15y.

$$-7y=40-40$$

Suma 40 a -40.

$$-7y=0$$

Divide ambos lados entre -7.

$$y=0$$

Substitúe y por 0 en 2x+3y=8. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x=8$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=4,y=0$$