Resolver {l}{x+1y-1/2+y-1/3=9}{x-1/3+y+1/2=8}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x + 1 y - 1 } { 2 } + \frac { y - 1 } { 3 } = 9 } \\ { \frac { x - 1 } { 3 } + \frac { y + 1 } { 2 } = 8 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=58$$

$$y=-23$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 6, o mínimo común denominador de 2,3.

$$3\left(x+1y-1\right)+2\left(y-1\right)=54$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por x+1y-1.

$$3x+3y-3+2\left(y-1\right)=54$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por y-1.

$$3x+3y-3+2y-2=54$$

Combina 3y e 2y para obter 5y.

$$3x+5y-3-2=54$$

Resta 2 de -3 para obter -5.

$$3x+5y-5=54$$

Engadir 5 en ambos lados.

$$3x+5y=54+5$$

Suma 54 e 5 para obter 59.

$$3x+5y=59$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 6, o mínimo común denominador de 3,2.

$$2\left(x-1\right)+3\left(y+1\right)=48$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por x-1.

$$2x-2+3\left(y+1\right)=48$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por y+1.

$$2x-2+3y+3=48$$

Suma -2 e 3 para obter 1.

$$2x+1+3y=48$$

Resta 1 en ambos lados.

$$2x+3y=48-1$$

Resta 1 de 48 para obter 47.

$$2x+3y=47$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x+5y=59,2x+3y=47$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x+5y=59$$

Resta 5y en ambos lados da ecuación.

$$3x=-5y+59$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+59\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por -5y+59.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{59}{3}$$

Substitúe x por \frac{-5y+59}{3} na outra ecuación, 2x+3y=47.

$$2\left(-\frac{5}{3}y+\frac{59}{3}\right)+3y=47$$

Multiplica 2 por \frac{-5y+59}{3}.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{118}{3}+3y=47$$

Suma -\frac{10y}{3} a 3y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{118}{3}=47$$

Resta \frac{118}{3} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{1}{3}y=\frac{23}{3}$$

Multiplica ambos lados por -3.

$$y=-23$$

Substitúe y por -23 en x=-\frac{5}{3}y+\frac{59}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{5}{3}\left(-23\right)+\frac{59}{3}$$

Multiplica -\frac{5}{3} por -23.

$$x=\frac{115+59}{3}$$

Suma \frac{59}{3} a \frac{115}{3} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=58$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=58,y=-23$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 6, o mínimo común denominador de 2,3.

$$3\left(x+1y-1\right)+2\left(y-1\right)=54$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por x+1y-1.

$$3x+3y-3+2\left(y-1\right)=54$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por y-1.

$$3x+3y-3+2y-2=54$$

Combina 3y e 2y para obter 5y.

$$3x+5y-3-2=54$$

Resta 2 de -3 para obter -5.

$$3x+5y-5=54$$

Engadir 5 en ambos lados.

$$3x+5y=54+5$$

Suma 54 e 5 para obter 59.

$$3x+5y=59$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 6, o mínimo común denominador de 3,2.

$$2\left(x-1\right)+3\left(y+1\right)=48$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por x-1.

$$2x-2+3\left(y+1\right)=48$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por y+1.

$$2x-2+3y+3=48$$

Suma -2 e 3 para obter 1.

$$2x+1+3y=48$$

Resta 1 en ambos lados.

$$2x+3y=48-1$$

Resta 1 de 48 para obter 47.

$$2x+3y=47$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x+5y=59,2x+3y=47$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-5\times 2}&-\frac{5}{3\times 3-5\times 2}\\-\frac{2}{3\times 3-5\times 2}&\frac{3}{3\times 3-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}59\\47\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 59+5\times 47\\2\times 59-3\times 47\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}58\\-23\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=58,y=-23$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 6, o mínimo común denominador de 2,3.

$$3\left(x+1y-1\right)+2\left(y-1\right)=54$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por x+1y-1.

$$3x+3y-3+2\left(y-1\right)=54$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por y-1.

$$3x+3y-3+2y-2=54$$

Combina 3y e 2y para obter 5y.

$$3x+5y-3-2=54$$

Resta 2 de -3 para obter -5.

$$3x+5y-5=54$$

Engadir 5 en ambos lados.

$$3x+5y=54+5$$

Suma 54 e 5 para obter 59.

$$3x+5y=59$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 6, o mínimo común denominador de 3,2.

$$2\left(x-1\right)+3\left(y+1\right)=48$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por x-1.

$$2x-2+3\left(y+1\right)=48$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por y+1.

$$2x-2+3y+3=48$$

Suma -2 e 3 para obter 1.

$$2x+1+3y=48$$

Resta 1 en ambos lados.

$$2x+3y=48-1$$

Resta 1 de 48 para obter 47.

$$2x+3y=47$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x+5y=59,2x+3y=47$$

Para que 3x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$2\times 3x+2\times 5y=2\times 59,3\times 2x+3\times 3y=3\times 47$$

Simplifica.

$$6x+10y=118,6x+9y=141$$

Resta 6x+9y=141 de 6x+10y=118 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6x-6x+10y-9y=118-141$$

Suma 6x a -6x. 6x e -6x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$10y-9y=118-141$$

Suma 10y a -9y.

$$y=118-141$$

Suma 118 a -141.

$$y=-23$$

Substitúe y por -23 en 2x+3y=47. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x+3\left(-23\right)=47$$

Multiplica 3 por -23.

$$2x-69=47$$

Suma 69 en ambos lados da ecuación.

$$2x=116$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=58$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=58,y=-23$$