Resolver {l}{x+1/y+2=2/3}{x-2/y-1=1/3}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x + 1 } { y + 2 } = \frac { 2 } { 3 } } \\ { \frac { x - 2 } { y - 1 } = \frac { 1 } { 3 } } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=3$$

$$y=4$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. A variable y non pode ser igual a -2 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por 3\left(y+2\right), o mínimo común denominador de y+2,3.

$$3\left(x+1\right)=2\left(y+2\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por x+1.

$$3x+3=2\left(y+2\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por y+2.

$$3x+3=2y+4$$

Resta 2y en ambos lados.

$$3x+3-2y=4$$

Resta 3 en ambos lados.

$$3x-2y=4-3$$

Resta 3 de 4 para obter 1.

$$3x-2y=1$$

Ten en conta a segunda ecuación. A variable y non pode ser igual a 1 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por 3\left(y-1\right), o mínimo común denominador de y-1,3.

$$3\left(x-2\right)=y-1$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por x-2.

$$3x-6=y-1$$

Resta y en ambos lados.

$$3x-6-y=-1$$

Engadir 6 en ambos lados.

$$3x-y=-1+6$$

Suma -1 e 6 para obter 5.

$$3x-y=5$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x-2y=1,3x-y=5$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x-2y=1$$

Suma 2y en ambos lados da ecuación.

$$3x=2y+1$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+1\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por 2y+1.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}$$

Substitúe x por \frac{2y+1}{3} na outra ecuación, 3x-y=5.

$$3\left(\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}\right)-y=5$$

Multiplica 3 por \frac{2y+1}{3}.

$$2y+1-y=5$$

Suma 2y a -y.

$$y+1=5$$

Resta 1 en ambos lados da ecuación.

$$y=4$$

Substitúe y por 4 en x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{2}{3}\times 4+\frac{1}{3}$$

Multiplica \frac{2}{3} por 4.

$$x=\frac{8+1}{3}$$

Suma \frac{1}{3} a \frac{8}{3} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=4$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. A variable y non pode ser igual a -2 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por 3\left(y+2\right), o mínimo común denominador de y+2,3.

$$3\left(x+1\right)=2\left(y+2\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por x+1.

$$3x+3=2\left(y+2\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por y+2.

$$3x+3=2y+4$$

Resta 2y en ambos lados.

$$3x+3-2y=4$$

Resta 3 en ambos lados.

$$3x-2y=4-3$$

Resta 3 de 4 para obter 1.

$$3x-2y=1$$

Ten en conta a segunda ecuación. A variable y non pode ser igual a 1 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por 3\left(y-1\right), o mínimo común denominador de y-1,3.

$$3\left(x-2\right)=y-1$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por x-2.

$$3x-6=y-1$$

Resta y en ambos lados.

$$3x-6-y=-1$$

Engadir 6 en ambos lados.

$$3x-y=-1+6$$

Suma -1 e 6 para obter 5.

$$3x-y=5$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x-2y=1,3x-y=5$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\times 5\\-1+5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=3,y=4$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. A variable y non pode ser igual a -2 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por 3\left(y+2\right), o mínimo común denominador de y+2,3.

$$3\left(x+1\right)=2\left(y+2\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por x+1.

$$3x+3=2\left(y+2\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por y+2.

$$3x+3=2y+4$$

Resta 2y en ambos lados.

$$3x+3-2y=4$$

Resta 3 en ambos lados.

$$3x-2y=4-3$$

Resta 3 de 4 para obter 1.

$$3x-2y=1$$

Ten en conta a segunda ecuación. A variable y non pode ser igual a 1 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por 3\left(y-1\right), o mínimo común denominador de y-1,3.

$$3\left(x-2\right)=y-1$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por x-2.

$$3x-6=y-1$$

Resta y en ambos lados.

$$3x-6-y=-1$$

Engadir 6 en ambos lados.

$$3x-y=-1+6$$

Suma -1 e 6 para obter 5.

$$3x-y=5$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x-2y=1,3x-y=5$$

Resta 3x-y=5 de 3x-2y=1 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$3x-3x-2y+y=1-5$$

Suma 3x a -3x. 3x e -3x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-2y+y=1-5$$

Suma -2y a y.

$$-y=1-5$$

Suma 1 a -5.

$$-y=-4$$

Divide ambos lados entre -1.

$$y=4$$

Substitúe y por 4 en 3x-y=5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x-4=5$$

Suma 4 en ambos lados da ecuación.

$$3x=9$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=4$$