Resolver {l}{k/L=100}{5k+50L=110}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { k } { L } = 100 } \\ { 5 k + 50 L = 110 } \end{array} \right.$$

Resolver k, L

$$k=20$$

$$L=\frac{1}{5}=0.2$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. A variable L non pode ser igual a 0 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por L.

$$k=100L$$

Substitúe k por 100L na outra ecuación, 5k+50L=110.

$$5\times 100L+50L=110$$

Multiplica 5 por 100L.

$$500L+50L=110$$

Suma 500L a 50L.

$$550L=110$$

Divide ambos lados entre 550.

$$L=\frac{1}{5}$$

Substitúe L por \frac{1}{5} en k=100L. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar k directamente.

$$k=100\times \frac{1}{5}$$

Multiplica 100 por \frac{1}{5}.

$$k=20$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$k=20,L=\frac{1}{5}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. A variable L non pode ser igual a 0 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por L.

$$k=100L$$

Resta 100L en ambos lados.

$$k-100L=0$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$k-100L=0,5k+50L=110$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{50}{50-\left(-100\times 5\right)}&-\frac{-100}{50-\left(-100\times 5\right)}\\-\frac{5}{50-\left(-100\times 5\right)}&\frac{1}{50-\left(-100\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\\-\frac{1}{110}&\frac{1}{550}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 110\\\frac{1}{550}\times 110\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz k e L.

$$k=20,L=\frac{1}{5}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. A variable L non pode ser igual a 0 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por L.

$$k=100L$$

Resta 100L en ambos lados.

$$k-100L=0$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$k-100L=0,5k+50L=110$$

Para que k e 5k sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 5 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$5k+5\left(-100\right)L=0,5k+50L=110$$

Simplifica.

$$5k-500L=0,5k+50L=110$$

Resta 5k+50L=110 de 5k-500L=0 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$5k-5k-500L-50L=-110$$

Suma 5k a -5k. 5k e -5k anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-500L-50L=-110$$

Suma -500L a -50L.

$$-550L=-110$$

Divide ambos lados entre -550.

$$L=\frac{1}{5}$$

Substitúe L por \frac{1}{5} en 5k+50L=110. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar k directamente.

$$5k+50\times \frac{1}{5}=110$$

Multiplica 50 por \frac{1}{5}.

$$5k+10=110$$

Resta 10 en ambos lados da ecuación.

$$5k=100$$

Divide ambos lados entre 5.

$$k=20$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$k=20,L=\frac{1}{5}$$