Resolver {l}{9x+4y/3-5x-11/2=13-y}{13x-7y=-8}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 9 x + 4 y } { 3 } - \frac { 5 x - 11 } { 2 } = 13 - y } \\ { 13 x - 7 y = - 8 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=1$$

$$y=3$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 6, o mínimo común denominador de 3,2.

$$2\left(9x+4y\right)-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por 9x+4y.

$$18x+8y-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -3 por 5x-11.

$$18x+8y-15x+33=78-6y$$

Combina 18x e -15x para obter 3x.

$$3x+8y+33=78-6y$$

Engadir 6y en ambos lados.

$$3x+8y+33+6y=78$$

Combina 8y e 6y para obter 14y.

$$3x+14y+33=78$$

Resta 33 en ambos lados.

$$3x+14y=78-33$$

Resta 33 de 78 para obter 45.

$$3x+14y=45$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x+14y=45,13x-7y=-8$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x+14y=45$$

Resta 14y en ambos lados da ecuación.

$$3x=-14y+45$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-14y+45\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por -14y+45.

$$x=-\frac{14}{3}y+15$$

Substitúe x por -\frac{14y}{3}+15 na outra ecuación, 13x-7y=-8.

$$13\left(-\frac{14}{3}y+15\right)-7y=-8$$

Multiplica 13 por -\frac{14y}{3}+15.

$$-\frac{182}{3}y+195-7y=-8$$

Suma -\frac{182y}{3} a -7y.

$$-\frac{203}{3}y+195=-8$$

Resta 195 en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{203}{3}y=-203$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{203}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en x=-\frac{14}{3}y+15. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{14}{3}\times 3+15$$

Multiplica -\frac{14}{3} por 3.

$$x=-14+15$$

Suma 15 a -14.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=3$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 6, o mínimo común denominador de 3,2.

$$2\left(9x+4y\right)-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por 9x+4y.

$$18x+8y-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -3 por 5x-11.

$$18x+8y-15x+33=78-6y$$

Combina 18x e -15x para obter 3x.

$$3x+8y+33=78-6y$$

Engadir 6y en ambos lados.

$$3x+8y+33+6y=78$$

Combina 8y e 6y para obter 14y.

$$3x+14y+33=78$$

Resta 33 en ambos lados.

$$3x+14y=78-33$$

Resta 33 de 78 para obter 45.

$$3x+14y=45$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x+14y=45,13x-7y=-8$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{3\left(-7\right)-14\times 13}&-\frac{14}{3\left(-7\right)-14\times 13}\\-\frac{13}{3\left(-7\right)-14\times 13}&\frac{3}{3\left(-7\right)-14\times 13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{29}&\frac{2}{29}\\\frac{13}{203}&-\frac{3}{203}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\-8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{29}\times 45+\frac{2}{29}\left(-8\right)\\\frac{13}{203}\times 45-\frac{3}{203}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=1,y=3$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 6, o mínimo común denominador de 3,2.

$$2\left(9x+4y\right)-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por 9x+4y.

$$18x+8y-3\left(5x-11\right)=78-6y$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -3 por 5x-11.

$$18x+8y-15x+33=78-6y$$

Combina 18x e -15x para obter 3x.

$$3x+8y+33=78-6y$$

Engadir 6y en ambos lados.

$$3x+8y+33+6y=78$$

Combina 8y e 6y para obter 14y.

$$3x+14y+33=78$$

Resta 33 en ambos lados.

$$3x+14y=78-33$$

Resta 33 de 78 para obter 45.

$$3x+14y=45$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x+14y=45,13x-7y=-8$$

Para que 3x e 13x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 13 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$13\times 3x+13\times 14y=13\times 45,3\times 13x+3\left(-7\right)y=3\left(-8\right)$$

Simplifica.

$$39x+182y=585,39x-21y=-24$$

Resta 39x-21y=-24 de 39x+182y=585 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$39x-39x+182y+21y=585+24$$

Suma 39x a -39x. 39x e -39x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$182y+21y=585+24$$

Suma 182y a 21y.

$$203y=585+24$$

Suma 585 a 24.

$$203y=609$$

Divide ambos lados entre 203.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en 13x-7y=-8. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$13x-7\times 3=-8$$

Multiplica -7 por 3.

$$13x-21=-8$$

Suma 21 en ambos lados da ecuación.

$$13x=13$$

Divide ambos lados entre 13.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=3$$