Resolver {l}{4/3x-1/3y=16}{3/15y-1/3x=8}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 4 } { 3 } x - \frac { 1 } { 3 } y = 16 } \\ { \frac { 3 } { 15 } y - \frac { 1 } { 3 } x = 8 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{264}{7} = 37\frac{5}{7} \approx 37.714285714$$

$$y = \frac{720}{7} = 102\frac{6}{7} \approx 102.857142857$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$\frac{4}{3}x-\frac{1}{3}y=16,-\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}y=8$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$\frac{4}{3}x-\frac{1}{3}y=16$$

Suma \frac{y}{3} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{4}{3}x=\frac{1}{3}y+16$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{4}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=\frac{3}{4}\left(\frac{1}{3}y+16\right)$$

Multiplica \frac{3}{4} por \frac{y}{3}+16.

$$x=\frac{1}{4}y+12$$

Substitúe x por \frac{y}{4}+12 na outra ecuación, -\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}y=8.

$$-\frac{1}{3}\left(\frac{1}{4}y+12\right)+\frac{1}{5}y=8$$

Multiplica -\frac{1}{3} por \frac{y}{4}+12.

$$-\frac{1}{12}y-4+\frac{1}{5}y=8$$

Suma -\frac{y}{12} a \frac{y}{5}.

$$\frac{7}{60}y-4=8$$

Suma 4 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{7}{60}y=12$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{7}{60}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{720}{7}$$

Substitúe y por \frac{720}{7} en x=\frac{1}{4}y+12. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{1}{4}\times \frac{720}{7}+12$$

Multiplica \frac{1}{4} por \frac{720}{7} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{180}{7}+12$$

Suma 12 a \frac{180}{7}.

$$x=\frac{264}{7}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{264}{7},y=\frac{720}{7}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$\frac{4}{3}x-\frac{1}{3}y=16,-\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}y=8$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{5}}{\frac{4}{3}\times \frac{1}{5}-\left(-\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{3}\right)\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{\frac{4}{3}\times \frac{1}{5}-\left(-\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{3}\right)\right)}\\-\frac{-\frac{1}{3}}{\frac{4}{3}\times \frac{1}{5}-\left(-\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{3}\right)\right)}&\frac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{3}\times \frac{1}{5}-\left(-\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{3}\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{7}&\frac{15}{7}\\\frac{15}{7}&\frac{60}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{7}\times 16+\frac{15}{7}\times 8\\\frac{15}{7}\times 16+\frac{60}{7}\times 8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{264}{7}\\\frac{720}{7}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{264}{7},y=\frac{720}{7}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$\frac{4}{3}x-\frac{1}{3}y=16,-\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}y=8$$

Para que \frac{4x}{3} e -\frac{x}{3} sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -\frac{1}{3} e todos os termos a cada lado da segunda por \frac{4}{3}.

$$-\frac{1}{3}\times \frac{4}{3}x-\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{3}\right)y=-\frac{1}{3}\times 16,\frac{4}{3}\left(-\frac{1}{3}\right)x+\frac{4}{3}\times \frac{1}{5}y=\frac{4}{3}\times 8$$

Simplifica.

$$-\frac{4}{9}x+\frac{1}{9}y=-\frac{16}{3},-\frac{4}{9}x+\frac{4}{15}y=\frac{32}{3}$$

Resta -\frac{4}{9}x+\frac{4}{15}y=\frac{32}{3} de -\frac{4}{9}x+\frac{1}{9}y=-\frac{16}{3} mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-\frac{4}{9}x+\frac{4}{9}x+\frac{1}{9}y-\frac{4}{15}y=\frac{-16-32}{3}$$

Suma -\frac{4x}{9} a \frac{4x}{9}. -\frac{4x}{9} e \frac{4x}{9} anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$\frac{1}{9}y-\frac{4}{15}y=\frac{-16-32}{3}$$

Suma \frac{y}{9} a -\frac{4y}{15}.

$$-\frac{7}{45}y=\frac{-16-32}{3}$$

Suma -\frac{16}{3} a -\frac{32}{3} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$-\frac{7}{45}y=-16$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{7}{45}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{720}{7}$$

Substitúe y por \frac{720}{7} en -\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}y=8. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}\times \frac{720}{7}=8$$

Multiplica \frac{1}{5} por \frac{720}{7} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$-\frac{1}{3}x+\frac{144}{7}=8$$

Resta \frac{144}{7} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{1}{3}x=-\frac{88}{7}$$

Multiplica ambos lados por -3.

$$x=\frac{264}{7}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{264}{7},y=\frac{720}{7}$$