Resolver {l}{2/3y-1/4x=3}{1/4y+2/5x=7}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 2 } { 3 } y - \frac { 1 } { 4 } x = 3 } \\ { \frac { 1 } { 4 } y + \frac { 2 } { 5 } x = 7 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x = \frac{940}{79} = 11\frac{71}{79} \approx 11.898734177$$

$$y = \frac{708}{79} = 8\frac{76}{79} \approx 8.962025316$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$\frac{2}{3}y-\frac{1}{4}x=3,\frac{1}{4}y+\frac{2}{5}x=7$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$\frac{2}{3}y-\frac{1}{4}x=3$$

Suma \frac{x}{4} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{2}{3}y=\frac{1}{4}x+3$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{2}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{3}{2}\left(\frac{1}{4}x+3\right)$$

Multiplica \frac{3}{2} por \frac{x}{4}+3.

$$y=\frac{3}{8}x+\frac{9}{2}$$

Substitúe y por \frac{9}{2}+\frac{3x}{8} na outra ecuación, \frac{1}{4}y+\frac{2}{5}x=7.

$$\frac{1}{4}\left(\frac{3}{8}x+\frac{9}{2}\right)+\frac{2}{5}x=7$$

Multiplica \frac{1}{4} por \frac{9}{2}+\frac{3x}{8}.

$$\frac{3}{32}x+\frac{9}{8}+\frac{2}{5}x=7$$

Suma \frac{3x}{32} a \frac{2x}{5}.

$$\frac{79}{160}x+\frac{9}{8}=7$$

Resta \frac{9}{8} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{79}{160}x=\frac{47}{8}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{79}{160}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=\frac{940}{79}$$

Substitúe x por \frac{940}{79} en y=\frac{3}{8}x+\frac{9}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=\frac{3}{8}\times \frac{940}{79}+\frac{9}{2}$$

Multiplica \frac{3}{8} por \frac{940}{79} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$y=\frac{705}{158}+\frac{9}{2}$$

Suma \frac{9}{2} a \frac{705}{158} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$y=\frac{708}{79}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=\frac{708}{79},x=\frac{940}{79}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$\frac{2}{3}y-\frac{1}{4}x=3,\frac{1}{4}y+\frac{2}{5}x=7$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\7\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\7\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{2}{5}}{\frac{2}{3}\times \frac{2}{5}-\left(-\frac{1}{4}\times \frac{1}{4}\right)}&-\frac{-\frac{1}{4}}{\frac{2}{3}\times \frac{2}{5}-\left(-\frac{1}{4}\times \frac{1}{4}\right)}\\-\frac{\frac{1}{4}}{\frac{2}{3}\times \frac{2}{5}-\left(-\frac{1}{4}\times \frac{1}{4}\right)}&\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}\times \frac{2}{5}-\left(-\frac{1}{4}\times \frac{1}{4}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{96}{79}&\frac{60}{79}\\-\frac{60}{79}&\frac{160}{79}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{96}{79}\times 3+\frac{60}{79}\times 7\\-\frac{60}{79}\times 3+\frac{160}{79}\times 7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{708}{79}\\\frac{940}{79}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=\frac{708}{79},x=\frac{940}{79}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$\frac{2}{3}y-\frac{1}{4}x=3,\frac{1}{4}y+\frac{2}{5}x=7$$

Para que \frac{2y}{3} e \frac{y}{4} sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por \frac{1}{4} e todos os termos a cada lado da segunda por \frac{2}{3}.

$$\frac{1}{4}\times \frac{2}{3}y+\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{4}\right)x=\frac{1}{4}\times 3,\frac{2}{3}\times \frac{1}{4}y+\frac{2}{3}\times \frac{2}{5}x=\frac{2}{3}\times 7$$

Simplifica.

$$\frac{1}{6}y-\frac{1}{16}x=\frac{3}{4},\frac{1}{6}y+\frac{4}{15}x=\frac{14}{3}$$

Resta \frac{1}{6}y+\frac{4}{15}x=\frac{14}{3} de \frac{1}{6}y-\frac{1}{16}x=\frac{3}{4} mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$\frac{1}{6}y-\frac{1}{6}y-\frac{1}{16}x-\frac{4}{15}x=\frac{3}{4}-\frac{14}{3}$$

Suma \frac{y}{6} a -\frac{y}{6}. \frac{y}{6} e -\frac{y}{6} anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-\frac{1}{16}x-\frac{4}{15}x=\frac{3}{4}-\frac{14}{3}$$

Suma -\frac{x}{16} a -\frac{4x}{15}.

$$-\frac{79}{240}x=\frac{3}{4}-\frac{14}{3}$$

Suma \frac{3}{4} a -\frac{14}{3} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$-\frac{79}{240}x=-\frac{47}{12}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{79}{240}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=\frac{940}{79}$$

Substitúe x por \frac{940}{79} en \frac{1}{4}y+\frac{2}{5}x=7. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$\frac{1}{4}y+\frac{2}{5}\times \frac{940}{79}=7$$

Multiplica \frac{2}{5} por \frac{940}{79} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$\frac{1}{4}y+\frac{376}{79}=7$$

Resta \frac{376}{79} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{1}{4}y=\frac{177}{79}$$

Multiplica ambos lados por 4.

$$y=\frac{708}{79}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=\frac{708}{79},x=\frac{940}{79}$$