Resolver {l}{2/3A+B=400}{A+4/5B=460}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 2 } { 3 } A + B = 400 } \\ { A + \frac { 4 } { 5 } B = 460 } \end{array} \right.$$

Resolver A, B

$$A=300$$

$$B=200$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$\frac{2}{3}A+B=400,A+\frac{4}{5}B=460$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a A mediante o illamento de A no lado esquerdo do signo igual.

$$\frac{2}{3}A+B=400$$

Resta B en ambos lados da ecuación.

$$\frac{2}{3}A=-B+400$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{2}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$A=\frac{3}{2}\left(-B+400\right)$$

Multiplica \frac{3}{2} por -B+400.

$$A=-\frac{3}{2}B+600$$

Substitúe A por -\frac{3B}{2}+600 na outra ecuación, A+\frac{4}{5}B=460.

$$-\frac{3}{2}B+600+\frac{4}{5}B=460$$

Suma -\frac{3B}{2} a \frac{4B}{5}.

$$-\frac{7}{10}B+600=460$$

Resta 600 en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{7}{10}B=-140$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{7}{10}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$B=200$$

Substitúe B por 200 en A=-\frac{3}{2}B+600. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar A directamente.

$$A=-\frac{3}{2}\times 200+600$$

Multiplica -\frac{3}{2} por 200.

$$A=-300+600$$

Suma 600 a -300.

$$A=300$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$A=300,B=200$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$\frac{2}{3}A+B=400,A+\frac{4}{5}B=460$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&1\\1&\frac{4}{5}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{4}{5}}{\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}-1}&-\frac{1}{\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}-1}\\-\frac{1}{\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}-1}&\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{7}&\frac{15}{7}\\\frac{15}{7}&-\frac{10}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}400\\460\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{7}\times 400+\frac{15}{7}\times 460\\\frac{15}{7}\times 400-\frac{10}{7}\times 460\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}300\\200\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz A e B.

$$A=300,B=200$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$\frac{2}{3}A+B=400,A+\frac{4}{5}B=460$$

Para que \frac{2A}{3} e A sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por \frac{2}{3}.

$$\frac{2}{3}A+B=400,\frac{2}{3}A+\frac{2}{3}\times \frac{4}{5}B=\frac{2}{3}\times 460$$

Simplifica.

$$\frac{2}{3}A+B=400,\frac{2}{3}A+\frac{8}{15}B=\frac{920}{3}$$

Resta \frac{2}{3}A+\frac{8}{15}B=\frac{920}{3} de \frac{2}{3}A+B=400 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$\frac{2}{3}A-\frac{2}{3}A+B-\frac{8}{15}B=400-\frac{920}{3}$$

Suma \frac{2A}{3} a -\frac{2A}{3}. \frac{2A}{3} e -\frac{2A}{3} anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$B-\frac{8}{15}B=400-\frac{920}{3}$$

Suma B a -\frac{8B}{15}.

$$\frac{7}{15}B=400-\frac{920}{3}$$

Suma 400 a -\frac{920}{3}.

$$\frac{7}{15}B=\frac{280}{3}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{7}{15}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$B=200$$

Substitúe B por 200 en A+\frac{4}{5}B=460. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar A directamente.

$$A+\frac{4}{5}\times 200=460$$

Multiplica \frac{4}{5} por 200.

$$A+160=460$$

Resta 160 en ambos lados da ecuación.

$$A=300$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$A=300,B=200$$