Resolver {l}{108/100x+110y/100=1008}{110/100x+108/100y=1028}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 108 } { 100 } x + \frac { 110 y } { 100 } = 1008 } \\ { \frac { 110 } { 100 } x + \frac { 108 } { 100 } y = 1028 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{105400}{109} = 966\frac{106}{109} \approx 966.972477064$$

$$y = -\frac{3600}{109} = -33\frac{3}{109} \approx -33.027522936$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 100.

$$108x+110y=100800$$

Ten en conta a segunda ecuación. Reduce a fracción \frac{110}{100} a termos máis baixos extraendo e cancelando 10.

$$\frac{11}{10}x+\frac{108}{100}y=1028$$

Reduce a fracción \frac{108}{100} a termos máis baixos extraendo e cancelando 4.

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$108x+110y=100800,\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$108x+110y=100800$$

Resta 110y en ambos lados da ecuación.

$$108x=-110y+100800$$

Divide ambos lados entre 108.

$$x=\frac{1}{108}\left(-110y+100800\right)$$

Multiplica \frac{1}{108} por -110y+100800.

$$x=-\frac{55}{54}y+\frac{2800}{3}$$

Substitúe x por -\frac{55y}{54}+\frac{2800}{3} na outra ecuación, \frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028.

$$\frac{11}{10}\left(-\frac{55}{54}y+\frac{2800}{3}\right)+\frac{27}{25}y=1028$$

Multiplica \frac{11}{10} por -\frac{55y}{54}+\frac{2800}{3}.

$$-\frac{121}{108}y+\frac{3080}{3}+\frac{27}{25}y=1028$$

Suma -\frac{121y}{108} a \frac{27y}{25}.

$$-\frac{109}{2700}y+\frac{3080}{3}=1028$$

Resta \frac{3080}{3} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{109}{2700}y=\frac{4}{3}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{109}{2700}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-\frac{3600}{109}$$

Substitúe y por -\frac{3600}{109} en x=-\frac{55}{54}y+\frac{2800}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{55}{54}\left(-\frac{3600}{109}\right)+\frac{2800}{3}$$

Multiplica -\frac{55}{54} por -\frac{3600}{109} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{11000}{327}+\frac{2800}{3}$$

Suma \frac{2800}{3} a \frac{11000}{327} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{105400}{109}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{105400}{109},y=-\frac{3600}{109}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 100.

$$108x+110y=100800$$

Ten en conta a segunda ecuación. Reduce a fracción \frac{110}{100} a termos máis baixos extraendo e cancelando 10.

$$\frac{11}{10}x+\frac{108}{100}y=1028$$

Reduce a fracción \frac{108}{100} a termos máis baixos extraendo e cancelando 4.

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$108x+110y=100800,\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}108&110\\\frac{11}{10}&\frac{27}{25}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{27}{25}}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}&-\frac{110}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}\\-\frac{\frac{11}{10}}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}&\frac{108}{108\times \frac{27}{25}-110\times \frac{11}{10}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{27}{109}&\frac{2750}{109}\\\frac{55}{218}&-\frac{2700}{109}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100800\\1028\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{27}{109}\times 100800+\frac{2750}{109}\times 1028\\\frac{55}{218}\times 100800-\frac{2700}{109}\times 1028\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{105400}{109}\\-\frac{3600}{109}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{105400}{109},y=-\frac{3600}{109}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 100.

$$108x+110y=100800$$

Ten en conta a segunda ecuación. Reduce a fracción \frac{110}{100} a termos máis baixos extraendo e cancelando 10.

$$\frac{11}{10}x+\frac{108}{100}y=1028$$

Reduce a fracción \frac{108}{100} a termos máis baixos extraendo e cancelando 4.

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$108x+110y=100800,\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028$$

Para que 108x e \frac{11x}{10} sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por \frac{11}{10} e todos os termos a cada lado da segunda por 108.

$$\frac{11}{10}\times 108x+\frac{11}{10}\times 110y=\frac{11}{10}\times 100800,108\times \frac{11}{10}x+108\times \frac{27}{25}y=108\times 1028$$

Simplifica.

$$\frac{594}{5}x+121y=110880,\frac{594}{5}x+\frac{2916}{25}y=111024$$

Resta \frac{594}{5}x+\frac{2916}{25}y=111024 de \frac{594}{5}x+121y=110880 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$\frac{594}{5}x-\frac{594}{5}x+121y-\frac{2916}{25}y=110880-111024$$

Suma \frac{594x}{5} a -\frac{594x}{5}. \frac{594x}{5} e -\frac{594x}{5} anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$121y-\frac{2916}{25}y=110880-111024$$

Suma 121y a -\frac{2916y}{25}.

$$\frac{109}{25}y=110880-111024$$

Suma 110880 a -111024.

$$\frac{109}{25}y=-144$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{109}{25}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-\frac{3600}{109}$$

Substitúe y por -\frac{3600}{109} en \frac{11}{10}x+\frac{27}{25}y=1028. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$\frac{11}{10}x+\frac{27}{25}\left(-\frac{3600}{109}\right)=1028$$

Multiplica \frac{27}{25} por -\frac{3600}{109} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$\frac{11}{10}x-\frac{3888}{109}=1028$$

Suma \frac{3888}{109} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{11}{10}x=\frac{115940}{109}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{11}{10}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=\frac{105400}{109}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{105400}{109},y=-\frac{3600}{109}$$