Resolver {l}{1/5y-x=1/2text{op}}{1/3x-1/2y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 5 } y - x = \frac { 1 } { 2 } \text { op } } \\ { \frac { 1 } { 3 } x - \frac { 1 } { 2 } y = 10 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x = \frac{45}{2} = 22\frac{1}{2} = 22.5$$

$$y=115$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$\frac{1}{5}y-x=\frac{1}{2},-\frac{1}{2}y+3x=10$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$\frac{1}{5}y-x=\frac{1}{2}$$

Suma x en ambos lados da ecuación.

$$\frac{1}{5}y=x+\frac{1}{2}$$

Multiplica ambos lados por 5.

$$y=5\left(x+\frac{1}{2}\right)$$

Multiplica 5 por x+\frac{1}{2}.

$$y=5x+\frac{5}{2}$$

Substitúe y por 5x+\frac{5}{2} na outra ecuación, -\frac{1}{2}y+3x=10.

$$-\frac{1}{2}\left(5x+\frac{5}{2}\right)+3x=10$$

Multiplica -\frac{1}{2} por 5x+\frac{5}{2}.

$$-\frac{5}{2}x-\frac{5}{4}+3x=10$$

Suma -\frac{5x}{2} a 3x.

$$\frac{1}{2}x-\frac{5}{4}=10$$

Suma \frac{5}{4} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{1}{2}x=\frac{45}{4}$$

Multiplica ambos lados por 2.

$$x=\frac{45}{2}$$

Substitúe x por \frac{45}{2} en y=5x+\frac{5}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=5\times \frac{45}{2}+\frac{5}{2}$$

Multiplica 5 por \frac{45}{2}.

$$y=\frac{225+5}{2}$$

Suma \frac{5}{2} a \frac{225}{2} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$y=115$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=115,x=\frac{45}{2}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$\frac{1}{5}y-x=\frac{1}{2},-\frac{1}{2}y+3x=10$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-1\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{\frac{1}{5}\times 3-\left(-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}&-\frac{-1}{\frac{1}{5}\times 3-\left(-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}\\-\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{5}\times 3-\left(-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}&\frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{5}\times 3-\left(-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30&10\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\times \frac{1}{2}+10\times 10\\5\times \frac{1}{2}+2\times 10\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}115\\\frac{45}{2}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=115,x=\frac{45}{2}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$\frac{1}{5}y-x=\frac{1}{2},-\frac{1}{2}y+3x=10$$

Para que \frac{y}{5} e -\frac{y}{2} sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -\frac{1}{2} e todos os termos a cada lado da segunda por \frac{1}{5}.

$$-\frac{1}{2}\times \frac{1}{5}y-\frac{1}{2}\left(-1\right)x=-\frac{1}{2}\times \frac{1}{2},\frac{1}{5}\left(-\frac{1}{2}\right)y+\frac{1}{5}\times 3x=\frac{1}{5}\times 10$$

Simplifica.

$$-\frac{1}{10}y+\frac{1}{2}x=-\frac{1}{4},-\frac{1}{10}y+\frac{3}{5}x=2$$

Resta -\frac{1}{10}y+\frac{3}{5}x=2 de -\frac{1}{10}y+\frac{1}{2}x=-\frac{1}{4} mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-\frac{1}{10}y+\frac{1}{10}y+\frac{1}{2}x-\frac{3}{5}x=-\frac{1}{4}-2$$

Suma -\frac{y}{10} a \frac{y}{10}. -\frac{y}{10} e \frac{y}{10} anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$\frac{1}{2}x-\frac{3}{5}x=-\frac{1}{4}-2$$

Suma \frac{x}{2} a -\frac{3x}{5}.

$$-\frac{1}{10}x=-\frac{1}{4}-2$$

Suma -\frac{1}{4} a -2.

$$-\frac{1}{10}x=-\frac{9}{4}$$

Multiplica ambos lados por -10.

$$x=\frac{45}{2}$$

Substitúe x por \frac{45}{2} en -\frac{1}{2}y+3x=10. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$-\frac{1}{2}y+3\times \frac{45}{2}=10$$

Multiplica 3 por \frac{45}{2}.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{135}{2}=10$$

Resta \frac{135}{2} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{1}{2}y=-\frac{115}{2}$$

Multiplica ambos lados por -2.

$$y=115$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=115,x=\frac{45}{2}$$