Resolver {l}{1/3x+1/2y=10}{1/5x-3y=-3/5}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 3 } x + \frac { 1 } { 2 } y = 10 } \\ { \frac { 1 } { 5 } x - 3 y = - \frac { 3 } { 5 } } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=27$$

$$y=2$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y=10,\frac{1}{5}x-3y=-\frac{3}{5}$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y=10$$

Resta \frac{y}{2} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{1}{3}x=-\frac{1}{2}y+10$$

Multiplica ambos lados por 3.

$$x=3\left(-\frac{1}{2}y+10\right)$$

Multiplica 3 por -\frac{y}{2}+10.

$$x=-\frac{3}{2}y+30$$

Substitúe x por -\frac{3y}{2}+30 na outra ecuación, \frac{1}{5}x-3y=-\frac{3}{5}.

$$\frac{1}{5}\left(-\frac{3}{2}y+30\right)-3y=-\frac{3}{5}$$

Multiplica \frac{1}{5} por -\frac{3y}{2}+30.

$$-\frac{3}{10}y+6-3y=-\frac{3}{5}$$

Suma -\frac{3y}{10} a -3y.

$$-\frac{33}{10}y+6=-\frac{3}{5}$$

Resta 6 en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{33}{10}y=-\frac{33}{5}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{33}{10}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en x=-\frac{3}{2}y+30. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{3}{2}\times 2+30$$

Multiplica -\frac{3}{2} por 2.

$$x=-3+30$$

Suma 30 a -3.

$$x=27$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=27,y=2$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y=10,\frac{1}{5}x-3y=-\frac{3}{5}$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{5}&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{5}&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{5}&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{5}&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{5}&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{5}&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{5}&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{\frac{1}{3}\left(-3\right)-\frac{1}{2}\times \frac{1}{5}}&-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}\left(-3\right)-\frac{1}{2}\times \frac{1}{5}}\\-\frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{3}\left(-3\right)-\frac{1}{2}\times \frac{1}{5}}&\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}\left(-3\right)-\frac{1}{2}\times \frac{1}{5}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{30}{11}&\frac{5}{11}\\\frac{2}{11}&-\frac{10}{33}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{30}{11}\times 10+\frac{5}{11}\left(-\frac{3}{5}\right)\\\frac{2}{11}\times 10-\frac{10}{33}\left(-\frac{3}{5}\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=27,y=2$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y=10,\frac{1}{5}x-3y=-\frac{3}{5}$$

Para que \frac{x}{3} e \frac{x}{5} sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por \frac{1}{5} e todos os termos a cada lado da segunda por \frac{1}{3}.

$$\frac{1}{5}\times \frac{1}{3}x+\frac{1}{5}\times \frac{1}{2}y=\frac{1}{5}\times 10,\frac{1}{3}\times \frac{1}{5}x+\frac{1}{3}\left(-3\right)y=\frac{1}{3}\left(-\frac{3}{5}\right)$$

Simplifica.

$$\frac{1}{15}x+\frac{1}{10}y=2,\frac{1}{15}x-y=-\frac{1}{5}$$

Resta \frac{1}{15}x-y=-\frac{1}{5} de \frac{1}{15}x+\frac{1}{10}y=2 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$\frac{1}{15}x-\frac{1}{15}x+\frac{1}{10}y+y=2+\frac{1}{5}$$

Suma \frac{x}{15} a -\frac{x}{15}. \frac{x}{15} e -\frac{x}{15} anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$\frac{1}{10}y+y=2+\frac{1}{5}$$

Suma \frac{y}{10} a y.

$$\frac{11}{10}y=2+\frac{1}{5}$$

Suma 2 a \frac{1}{5}.

$$\frac{11}{10}y=\frac{11}{5}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{11}{10}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en \frac{1}{5}x-3y=-\frac{3}{5}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$\frac{1}{5}x-3\times 2=-\frac{3}{5}$$

Multiplica -3 por 2.

$$\frac{1}{5}x-6=-\frac{3}{5}$$

Suma 6 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{1}{5}x=\frac{27}{5}$$

Multiplica ambos lados por 5.

$$x=27$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=27,y=2$$