Resolver {l}{1/2x-4/5y=-2}{1/6x-1/3y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 2 } x - \frac { 4 } { 5 } y = - 2 } \\ { \frac { 1 } { 6 } x - \frac { 1 } { 3 } y = 2 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-68$$

$$y=-40$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$\frac{1}{2}x-\frac{4}{5}y=-2,\frac{1}{6}x-\frac{1}{3}y=2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$\frac{1}{2}x-\frac{4}{5}y=-2$$

Suma \frac{4y}{5} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{1}{2}x=\frac{4}{5}y-2$$

Multiplica ambos lados por 2.

$$x=2\left(\frac{4}{5}y-2\right)$$

Multiplica 2 por \frac{4y}{5}-2.

$$x=\frac{8}{5}y-4$$

Substitúe x por \frac{8y}{5}-4 na outra ecuación, \frac{1}{6}x-\frac{1}{3}y=2.

$$\frac{1}{6}\left(\frac{8}{5}y-4\right)-\frac{1}{3}y=2$$

Multiplica \frac{1}{6} por \frac{8y}{5}-4.

$$\frac{4}{15}y-\frac{2}{3}-\frac{1}{3}y=2$$

Suma \frac{4y}{15} a -\frac{y}{3}.

$$-\frac{1}{15}y-\frac{2}{3}=2$$

Suma \frac{2}{3} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{1}{15}y=\frac{8}{3}$$

Multiplica ambos lados por -15.

$$y=-40$$

Substitúe y por -40 en x=\frac{8}{5}y-4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{8}{5}\left(-40\right)-4$$

Multiplica \frac{8}{5} por -40.

$$x=-64-4$$

Suma -4 a -64.

$$x=-68$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-68,y=-40$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$\frac{1}{2}x-\frac{4}{5}y=-2,\frac{1}{6}x-\frac{1}{3}y=2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{4}{5}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{4}{5}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{4}{5}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{4}{5}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{4}{5}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{4}{5}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{4}{5}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)-\left(-\frac{4}{5}\times \frac{1}{6}\right)}&-\frac{-\frac{4}{5}}{\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)-\left(-\frac{4}{5}\times \frac{1}{6}\right)}\\-\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)-\left(-\frac{4}{5}\times \frac{1}{6}\right)}&\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)-\left(-\frac{4}{5}\times \frac{1}{6}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10&-24\\5&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\left(-2\right)-24\times 2\\5\left(-2\right)-15\times 2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-68\\-40\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-68,y=-40$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$\frac{1}{2}x-\frac{4}{5}y=-2,\frac{1}{6}x-\frac{1}{3}y=2$$

Para que \frac{x}{2} e \frac{x}{6} sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por \frac{1}{6} e todos os termos a cada lado da segunda por \frac{1}{2}.

$$\frac{1}{6}\times \frac{1}{2}x+\frac{1}{6}\left(-\frac{4}{5}\right)y=\frac{1}{6}\left(-2\right),\frac{1}{2}\times \frac{1}{6}x+\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)y=\frac{1}{2}\times 2$$

Simplifica.

$$\frac{1}{12}x-\frac{2}{15}y=-\frac{1}{3},\frac{1}{12}x-\frac{1}{6}y=1$$

Resta \frac{1}{12}x-\frac{1}{6}y=1 de \frac{1}{12}x-\frac{2}{15}y=-\frac{1}{3} mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$\frac{1}{12}x-\frac{1}{12}x-\frac{2}{15}y+\frac{1}{6}y=-\frac{1}{3}-1$$

Suma \frac{x}{12} a -\frac{x}{12}. \frac{x}{12} e -\frac{x}{12} anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-\frac{2}{15}y+\frac{1}{6}y=-\frac{1}{3}-1$$

Suma -\frac{2y}{15} a \frac{y}{6}.

$$\frac{1}{30}y=-\frac{1}{3}-1$$

Suma -\frac{1}{3} a -1.

$$\frac{1}{30}y=-\frac{4}{3}$$

Multiplica ambos lados por 30.

$$y=-40$$

Substitúe y por -40 en \frac{1}{6}x-\frac{1}{3}y=2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$\frac{1}{6}x-\frac{1}{3}\left(-40\right)=2$$

Multiplica -\frac{1}{3} por -40.

$$\frac{1}{6}x+\frac{40}{3}=2$$

Resta \frac{40}{3} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{1}{6}x=-\frac{34}{3}$$

Multiplica ambos lados por 6.

$$x=-68$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-68,y=-40$$