Resolver {l}{+3|-5(-7+1|}{x-2019|=|x-}{2x+2y=9}{3x-7y=21}

$$\left. \begin{array} { l } { + 3 | - 5 ( - 7 + 1 | } \\ { x - 2019 | = | x - } \\ { 2 x + 2 y = 9 } \\ { 3 x - 7 y = 21 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{21}{4} = 5\frac{1}{4} = 5.25$$

$$y=-\frac{3}{4}=-0.75$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+2y=9,3x-7y=21$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+2y=9$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-2y+9$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-2y+9\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -2y+9.

$$x=-y+\frac{9}{2}$$

Substitúe x por -y+\frac{9}{2} na outra ecuación, 3x-7y=21.

$$3\left(-y+\frac{9}{2}\right)-7y=21$$

Multiplica 3 por -y+\frac{9}{2}.

$$-3y+\frac{27}{2}-7y=21$$

Suma -3y a -7y.

$$-10y+\frac{27}{2}=21$$

Resta \frac{27}{2} en ambos lados da ecuación.

$$-10y=\frac{15}{2}$$

Divide ambos lados entre -10.

$$y=-\frac{3}{4}$$

Substitúe y por -\frac{3}{4} en x=-y+\frac{9}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\left(-\frac{3}{4}\right)+\frac{9}{2}$$

Multiplica -1 por -\frac{3}{4}.

$$x=\frac{3}{4}+\frac{9}{2}$$

Suma \frac{9}{2} a \frac{3}{4} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{21}{4}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{21}{4},y=-\frac{3}{4}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+2y=9,3x-7y=21$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&2\\3&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&2\\3&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&2\\3&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{2\left(-7\right)-2\times 3}&-\frac{2}{2\left(-7\right)-2\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-7\right)-2\times 3}&\frac{2}{2\left(-7\right)-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{20}&\frac{1}{10}\\\frac{3}{20}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{20}\times 9+\frac{1}{10}\times 21\\\frac{3}{20}\times 9-\frac{1}{10}\times 21\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{21}{4}\\-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{21}{4},y=-\frac{3}{4}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+2y=9,3x-7y=21$$

Para que 2x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$3\times 2x+3\times 2y=3\times 9,2\times 3x+2\left(-7\right)y=2\times 21$$

Simplifica.

$$6x+6y=27,6x-14y=42$$

Resta 6x-14y=42 de 6x+6y=27 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6x-6x+6y+14y=27-42$$

Suma 6x a -6x. 6x e -6x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$6y+14y=27-42$$

Suma 6y a 14y.

$$20y=27-42$$

Suma 27 a -42.

$$20y=-15$$

Divide ambos lados entre 20.

$$y=-\frac{3}{4}$$

Substitúe y por -\frac{3}{4} en 3x-7y=21. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x-7\left(-\frac{3}{4}\right)=21$$

Multiplica -7 por -\frac{3}{4}.

$$3x+\frac{21}{4}=21$$

Resta \frac{21}{4} en ambos lados da ecuación.

$$3x=\frac{63}{4}$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{21}{4}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{21}{4},y=-\frac{3}{4}$$