Resolver {c}{y-3x+15=10}{6-4x=y}

$$\left. \begin{array} { c } { y - 3 x + 15 = 10 } \\ { 6 - 4 x = y } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x = \frac{11}{7} = 1\frac{4}{7} \approx 1.571428571$$

$$y=-\frac{2}{7}\approx -0.285714286$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 15 en ambos lados.

$$y-3x=10-15$$

Resta 15 de 10 para obter -5.

$$y-3x=-5$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta y en ambos lados.

$$6-4x-y=0$$

Resta 6 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$-4x-y=-6$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$y-3x=-5,-y-4x=-6$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$y-3x=-5$$

Suma 3x en ambos lados da ecuación.

$$y=3x-5$$

Substitúe y por 3x-5 na outra ecuación, -y-4x=-6.

$$-\left(3x-5\right)-4x=-6$$

Multiplica -1 por 3x-5.

$$-3x+5-4x=-6$$

Suma -3x a -4x.

$$-7x+5=-6$$

Resta 5 en ambos lados da ecuación.

$$-7x=-11$$

Divide ambos lados entre -7.

$$x=\frac{11}{7}$$

Substitúe x por \frac{11}{7} en y=3x-5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=3\times \frac{11}{7}-5$$

Multiplica 3 por \frac{11}{7}.

$$y=\frac{33}{7}-5$$

Suma -5 a \frac{33}{7}.

$$y=-\frac{2}{7}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=-\frac{2}{7},x=\frac{11}{7}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 15 en ambos lados.

$$y-3x=10-15$$

Resta 15 de 10 para obter -5.

$$y-3x=-5$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta y en ambos lados.

$$6-4x-y=0$$

Resta 6 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$-4x-y=-6$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$y-3x=-5,-y-4x=-6$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-3\left(-1\right)\right)}&-\frac{-3}{-4-\left(-3\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{-4-\left(-3\left(-1\right)\right)}&\frac{1}{-4-\left(-3\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7}&-\frac{3}{7}\\-\frac{1}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7}\left(-5\right)-\frac{3}{7}\left(-6\right)\\-\frac{1}{7}\left(-5\right)-\frac{1}{7}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}\\\frac{11}{7}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=-\frac{2}{7},x=\frac{11}{7}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 15 en ambos lados.

$$y-3x=10-15$$

Resta 15 de 10 para obter -5.

$$y-3x=-5$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta y en ambos lados.

$$6-4x-y=0$$

Resta 6 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$-4x-y=-6$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$y-3x=-5,-y-4x=-6$$

Para que y e -y sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -1 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$-y-\left(-3x\right)=-\left(-5\right),-y-4x=-6$$

Simplifica.

$$-y+3x=5,-y-4x=-6$$

Resta -y-4x=-6 de -y+3x=5 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-y+y+3x+4x=5+6$$

Suma -y a y. -y e y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$3x+4x=5+6$$

Suma 3x a 4x.

$$7x=5+6$$

Suma 5 a 6.

$$7x=11$$

Divide ambos lados entre 7.

$$x=\frac{11}{7}$$

Substitúe x por \frac{11}{7} en -y-4x=-6. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$-y-4\times \frac{11}{7}=-6$$

Multiplica -4 por \frac{11}{7}.

$$-y-\frac{44}{7}=-6$$

Suma \frac{44}{7} en ambos lados da ecuación.

$$-y=\frac{2}{7}$$

Divide ambos lados entre -1.

$$y=-\frac{2}{7}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=-\frac{2}{7},x=\frac{11}{7}$$