Resolver {c}{y=.5x+2}{x+3y=1}

$$\left. \begin{array} { c } { y = .5 x + 2 } \\ { x + 3 y = 1 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x=-2$$

$$y=1$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 0.5x en ambos lados.

$$y-0.5x=2$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$y-0.5x=2,3y+x=1$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$y-0.5x=2$$

Suma \frac{x}{2} en ambos lados da ecuación.

$$y=0.5x+2$$

Substitúe y por \frac{x}{2}+2 na outra ecuación, 3y+x=1.

$$3\left(0.5x+2\right)+x=1$$

Multiplica 3 por \frac{x}{2}+2.

$$1.5x+6+x=1$$

Suma \frac{3x}{2} a x.

$$2.5x+6=1$$

Resta 6 en ambos lados da ecuación.

$$2.5x=-5$$

Divide ambos lados da ecuación entre 2.5, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=-2$$

Substitúe x por -2 en y=0.5x+2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=0.5\left(-2\right)+2$$

Multiplica 0.5 por -2.

$$y=-1+2$$

Suma 2 a -1.

$$y=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=1,x=-2$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 0.5x en ambos lados.

$$y-0.5x=2$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$y-0.5x=2,3y+x=1$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-0.5\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-0.5\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-0.5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-0.5\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-0.5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-0.5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-0.5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-0.5\times 3\right)}&-\frac{-0.5}{1-\left(-0.5\times 3\right)}\\-\frac{3}{1-\left(-0.5\times 3\right)}&\frac{1}{1-\left(-0.5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.4&0.2\\-1.2&0.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.4\times 2+0.2\\-1.2\times 2+0.4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=1,x=-2$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 0.5x en ambos lados.

$$y-0.5x=2$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$y-0.5x=2,3y+x=1$$

Para que y e 3y sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$3y+3\left(-0.5\right)x=3\times 2,3y+x=1$$

Simplifica.

$$3y-1.5x=6,3y+x=1$$

Resta 3y+x=1 de 3y-1.5x=6 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$3y-3y-1.5x-x=6-1$$

Suma 3y a -3y. 3y e -3y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-1.5x-x=6-1$$

Suma -\frac{3x}{2} a -x.

$$-2.5x=6-1$$

Suma 6 a -1.

$$-2.5x=5$$

Divide ambos lados da ecuación entre -2.5, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=-2$$

Substitúe x por -2 en 3y+x=1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$3y-2=1$$

Suma 2 en ambos lados da ecuación.

$$3y=3$$

Divide ambos lados entre 3.

$$y=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=1,x=-2$$