Resolver {c}{y=-3x+1}{y=x-7}

$$\left. \begin{array} { c } { y = - 3 x + 1 } \\ { y = x - 7 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x=2$$

$$y=-5$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir 3x en ambos lados.

$$y+3x=1$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta x en ambos lados.

$$y-x=-7$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$y+3x=1,y-x=-7$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$y+3x=1$$

Resta 3x en ambos lados da ecuación.

$$y=-3x+1$$

Substitúe y por -3x+1 na outra ecuación, y-x=-7.

$$-3x+1-x=-7$$

Suma -3x a -x.

$$-4x+1=-7$$

Resta 1 en ambos lados da ecuación.

$$-4x=-8$$

Divide ambos lados entre -4.

$$x=2$$

Substitúe x por 2 en y=-3x+1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=-3\times 2+1$$

Multiplica -3 por 2.

$$y=-6+1$$

Suma 1 a -6.

$$y=-5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=-5,x=2$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir 3x en ambos lados.

$$y+3x=1$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta x en ambos lados.

$$y-x=-7$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$y+3x=1,y-x=-7$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-7\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&3\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-7\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-7\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-3}&-\frac{3}{-1-3}\\-\frac{1}{-1-3}&\frac{1}{-1-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\left(-7\right)\\\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=-5,x=2$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Engadir 3x en ambos lados.

$$y+3x=1$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta x en ambos lados.

$$y-x=-7$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$y+3x=1,y-x=-7$$

Resta y-x=-7 de y+3x=1 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$y-y+3x+x=1+7$$

Suma y a -y. y e -y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$3x+x=1+7$$

Suma 3x a x.

$$4x=1+7$$

Suma 1 a 7.

$$4x=8$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=2$$

Substitúe x por 2 en y-x=-7. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y-2=-7$$

Suma 2 en ambos lados da ecuación.

$$y=-5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=-5,x=2$$