Resolver {c}{y=1/3x+7}{x+y=3}

$$\left. \begin{array} { c } { y = \frac { 1 } { 3 } x + 7 } \\ { x + y = 3 } \end{array} \right.$$

Resolver y, x

$$x=-3$$

$$y=6$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta \frac{1}{3}x en ambos lados.

$$y-\frac{1}{3}x=7$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$y-\frac{1}{3}x=7,y+x=3$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a y mediante o illamento de y no lado esquerdo do signo igual.

$$y-\frac{1}{3}x=7$$

Suma \frac{x}{3} en ambos lados da ecuación.

$$y=\frac{1}{3}x+7$$

Substitúe y por \frac{x}{3}+7 na outra ecuación, y+x=3.

$$\frac{1}{3}x+7+x=3$$

Suma \frac{x}{3} a x.

$$\frac{4}{3}x+7=3$$

Resta 7 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{4}{3}x=-4$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{4}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=-3$$

Substitúe x por -3 en y=\frac{1}{3}x+7. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=\frac{1}{3}\left(-3\right)+7$$

Multiplica \frac{1}{3} por -3.

$$y=-1+7$$

Suma 7 a -1.

$$y=6$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=6,x=-3$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta \frac{1}{3}x en ambos lados.

$$y-\frac{1}{3}x=7$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$y-\frac{1}{3}x=7,y+x=3$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{3}{4}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 7+\frac{1}{4}\times 3\\-\frac{3}{4}\times 7+\frac{3}{4}\times 3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=6,x=-3$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta \frac{1}{3}x en ambos lados.

$$y-\frac{1}{3}x=7$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$y-\frac{1}{3}x=7,y+x=3$$

Resta y+x=3 de y-\frac{1}{3}x=7 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$y-y-\frac{1}{3}x-x=7-3$$

Suma y a -y. y e -y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-\frac{1}{3}x-x=7-3$$

Suma -\frac{x}{3} a -x.

$$-\frac{4}{3}x=7-3$$

Suma 7 a -3.

$$-\frac{4}{3}x=4$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{4}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=-3$$

Substitúe x por -3 en y+x=3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y-3=3$$

Suma 3 en ambos lados da ecuación.

$$y=6$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=6,x=-3$$