Resolver {c}{x_{1}+3x_{2}-x_{3}+2x_{4}=7}{3x_{1}+10x_{2}-3x_{3}+6x_{4}=21}

$$\left. \begin{array} { c } { x _ { 1 } + 3 x _ { 2 } - x _ { 3 } + 2 x _ { 4 } = 7 } \\ { 3 x _ { 1 } + 10 x _ { 2 } - 3 x _ { 3 } + 6 x _ { 4 } = 21 } \end{array} \right.$$

Resolver x_1, x_2

$$x_{1}=x_{3}-2x_{4}+7$$

$$x_{2}=0$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x_{1}+3x_{2}+2x_{4}-x_{3}=7,3x_{1}+10x_{2}+6x_{4}-3x_{3}=21$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x_{1} mediante o illamento de x_{1} no lado esquerdo do signo igual.

$$x_{1}+3x_{2}+2x_{4}-x_{3}=7$$

Resta -x_{3}+2x_{4} en ambos lados da ecuación.

$$x_{1}+3x_{2}=x_{3}-2x_{4}+7$$

Resta 3x_{2} en ambos lados da ecuación.

$$x_{1}=-3x_{2}+x_{3}-2x_{4}+7$$

Substitúe x_{1} por -3x_{2}+7+x_{3}-2x_{4} na outra ecuación, 3x_{1}+10x_{2}+6x_{4}-3x_{3}=21.

$$3\left(-3x_{2}+x_{3}-2x_{4}+7\right)+10x_{2}+6x_{4}-3x_{3}=21$$

Multiplica 3 por -3x_{2}+7+x_{3}-2x_{4}.

$$-9x_{2}+3x_{3}-6x_{4}+21+10x_{2}+6x_{4}-3x_{3}=21$$

Suma -9x_{2} a 10x_{2}.

$$x_{2}+3x_{3}-6x_{4}+21+6x_{4}-3x_{3}=21$$

Suma 21+3x_{3}-6x_{4} a -3x_{3}+6x_{4}.

$$x_{2}+21=21$$

Resta 21 en ambos lados da ecuación.

$$x_{2}=0$$

Substitúe x_{2} por 0 en x_{1}=-3x_{2}+x_{3}-2x_{4}+7. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x_{1} directamente.

$$x_{1}=x_{3}-2x_{4}+7$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x_{1}=x_{3}-2x_{4}+7,x_{2}=0$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x_{1}+3x_{2}+2x_{4}-x_{3}=7,3x_{1}+10x_{2}+6x_{4}-3x_{3}=21$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\3&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}x_{3}-2x_{4}+7\\3x_{3}-6x_{4}+21\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&3\\3&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\3&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}x_{3}-2x_{4}+7\\3x_{3}-6x_{4}+21\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}x_{3}-2x_{4}+7\\3x_{3}-6x_{4}+21\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}x_{3}-2x_{4}+7\\3x_{3}-6x_{4}+21\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{10-3\times 3}&-\frac{3}{10-3\times 3}\\-\frac{3}{10-3\times 3}&\frac{1}{10-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{3}-2x_{4}+7\\3x_{3}-6x_{4}+21\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10&-3\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{3}-2x_{4}+7\\3x_{3}-6x_{4}+21\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\left(x_{3}-2x_{4}+7\right)-3\left(3x_{3}-6x_{4}+21\right)\\-3\left(x_{3}-2x_{4}+7\right)+3x_{3}-6x_{4}+21\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}x_{3}-2x_{4}+7\\0\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x_{1} e x_{2}.

$$x_{1}=x_{3}-2x_{4}+7,x_{2}=0$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x_{1}+3x_{2}+2x_{4}-x_{3}=7,3x_{1}+10x_{2}+6x_{4}-3x_{3}=21$$

Para que x_{1} e 3x_{1} sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$3x_{1}+3\times 3x_{2}+3\left(2x_{4}-x_{3}\right)=3\times 7,3x_{1}+10x_{2}+6x_{4}-3x_{3}=21$$

Simplifica.

$$3x_{1}+9x_{2}+6x_{4}-3x_{3}=21,3x_{1}+10x_{2}+6x_{4}-3x_{3}=21$$

Resta 3x_{1}+10x_{2}+6x_{4}-3x_{3}=21 de 3x_{1}+9x_{2}+6x_{4}-3x_{3}=21 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$3x_{1}-3x_{1}+9x_{2}-10x_{2}+6x_{4}-3x_{3}+3x_{3}-6x_{4}=21-21$$

Suma 3x_{1} a -3x_{1}. 3x_{1} e -3x_{1} anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$9x_{2}-10x_{2}+6x_{4}-3x_{3}+3x_{3}-6x_{4}=21-21$$

Suma 9x_{2} a -10x_{2}.

$$-x_{2}+6x_{4}-3x_{3}+3x_{3}-6x_{4}=21-21$$

Suma -3x_{3}+6x_{4} a 3x_{3}-6x_{4}.

$$-x_{2}=21-21$$

Suma 21 a -21.

$$-x_{2}=0$$

Divide ambos lados entre -1.

$$x_{2}=0$$

Substitúe x_{2} por 0 en 3x_{1}+10x_{2}+6x_{4}-3x_{3}=21. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x_{1} directamente.

$$3x_{1}+6x_{4}-3x_{3}=21$$

Resta -3x_{3}+6x_{4} en ambos lados da ecuación.

$$3x_{1}=3x_{3}-6x_{4}+21$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x_{1}=x_{3}-2x_{4}+7$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x_{1}=x_{3}-2x_{4}+7,x_{2}=0$$