Resolver {c}{x-3y=6}{-8x-y=6}

$$\left. \begin{array} { c } { x - 3 y = 6 } \\ { - 8 x - y = 6 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-\frac{12}{25}=-0.48$$

$$y = -\frac{54}{25} = -2\frac{4}{25} = -2.16$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x-3y=6,-8x-y=6$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x-3y=6$$

Suma 3y en ambos lados da ecuación.

$$x=3y+6$$

Substitúe x por 6+3y na outra ecuación, -8x-y=6.

$$-8\left(3y+6\right)-y=6$$

Multiplica -8 por 6+3y.

$$-24y-48-y=6$$

Suma -24y a -y.

$$-25y-48=6$$

Suma 48 en ambos lados da ecuación.

$$-25y=54$$

Divide ambos lados entre -25.

$$y=-\frac{54}{25}$$

Substitúe y por -\frac{54}{25} en x=3y+6. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=3\left(-\frac{54}{25}\right)+6$$

Multiplica 3 por -\frac{54}{25}.

$$x=-\frac{162}{25}+6$$

Suma 6 a -\frac{162}{25}.

$$x=-\frac{12}{25}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{12}{25},y=-\frac{54}{25}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x-3y=6,-8x-y=6$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-8&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-3\\-8&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-8&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-3\left(-8\right)\right)}&-\frac{-3}{-1-\left(-3\left(-8\right)\right)}\\-\frac{-8}{-1-\left(-3\left(-8\right)\right)}&\frac{1}{-1-\left(-3\left(-8\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{25}&-\frac{3}{25}\\-\frac{8}{25}&-\frac{1}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{25}\times 6-\frac{3}{25}\times 6\\-\frac{8}{25}\times 6-\frac{1}{25}\times 6\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{25}\\-\frac{54}{25}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-\frac{12}{25},y=-\frac{54}{25}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x-3y=6,-8x-y=6$$

Para que x e -8x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -8 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$-8x-8\left(-3\right)y=-8\times 6,-8x-y=6$$

Simplifica.

$$-8x+24y=-48,-8x-y=6$$

Resta -8x-y=6 de -8x+24y=-48 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-8x+8x+24y+y=-48-6$$

Suma -8x a 8x. -8x e 8x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$24y+y=-48-6$$

Suma 24y a y.

$$25y=-48-6$$

Suma -48 a -6.

$$25y=-54$$

Divide ambos lados entre 25.

$$y=-\frac{54}{25}$$

Substitúe y por -\frac{54}{25} en -8x-y=6. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-8x-\left(-\frac{54}{25}\right)=6$$

Resta \frac{54}{25} en ambos lados da ecuación.

$$-8x=\frac{96}{25}$$

Divide ambos lados entre -8.

$$x=-\frac{12}{25}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{12}{25},y=-\frac{54}{25}$$