Resolver {c}{x-3=y}{4x=37+3y}

$$\left. \begin{array} { c } { x - 3 = y } \\ { 4 x = 37 + 3 y } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=28$$

$$y=25$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta y en ambos lados.

$$x-3-y=0$$

Engadir 3 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$x-y=3$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 3y en ambos lados.

$$4x-3y=37$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x-y=3,4x-3y=37$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x-y=3$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$x=y+3$$

Substitúe x por y+3 na outra ecuación, 4x-3y=37.

$$4\left(y+3\right)-3y=37$$

Multiplica 4 por y+3.

$$4y+12-3y=37$$

Suma 4y a -3y.

$$y+12=37$$

Resta 12 en ambos lados da ecuación.

$$y=25$$

Substitúe y por 25 en x=y+3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=25+3$$

Suma 3 a 25.

$$x=28$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=28,y=25$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta y en ambos lados.

$$x-3-y=0$$

Engadir 3 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$x-y=3$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 3y en ambos lados.

$$4x-3y=37$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x-y=3,4x-3y=37$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\37\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\37\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\37\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\37\end{matrix}\right)$$

Para a matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{-3-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{-3-\left(-4\right)}&\frac{1}{-3-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\37\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&1\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\37\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 3+37\\-4\times 3+37\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\25\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=28,y=25$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta y en ambos lados.

$$x-3-y=0$$

Engadir 3 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$x-y=3$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 3y en ambos lados.

$$4x-3y=37$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x-y=3,4x-3y=37$$

Para que x e 4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 4 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$4x+4\left(-1\right)y=4\times 3,4x-3y=37$$

Simplifica.

$$4x-4y=12,4x-3y=37$$

Resta 4x-3y=37 de 4x-4y=12 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$4x-4x-4y+3y=12-37$$

Suma 4x a -4x. 4x e -4x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-4y+3y=12-37$$

Suma -4y a 3y.

$$-y=12-37$$

Suma 12 a -37.

$$-y=-25$$

Divide ambos lados entre -1.

$$y=25$$

Substitúe y por 25 en 4x-3y=37. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$4x-3\times 25=37$$

Multiplica -3 por 25.

$$4x-75=37$$

Suma 75 en ambos lados da ecuación.

$$4x=112$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=28$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=28,y=25$$