Resolver {c}{x=3y+2}{x-5=4(y-5)}

$$\left. \begin{array} { c } { x = 3 y + 2 } \\ { x - 5 = 4 ( y - 5 ) } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=53$$

$$y=17$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 3y en ambos lados.

$$x-3y=2$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 4 por y-5.

$$x-5=4y-20$$

Resta 4y en ambos lados.

$$x-5-4y=-20$$

Engadir 5 en ambos lados.

$$x-4y=-20+5$$

Suma -20 e 5 para obter -15.

$$x-4y=-15$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x-3y=2,x-4y=-15$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x-3y=2$$

Suma 3y en ambos lados da ecuación.

$$x=3y+2$$

Substitúe x por 3y+2 na outra ecuación, x-4y=-15.

$$3y+2-4y=-15$$

Suma 3y a -4y.

$$-y+2=-15$$

Resta 2 en ambos lados da ecuación.

$$-y=-17$$

Divide ambos lados entre -1.

$$y=17$$

Substitúe y por 17 en x=3y+2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=3\times 17+2$$

Multiplica 3 por 17.

$$x=51+2$$

Suma 2 a 51.

$$x=53$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=53,y=17$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 3y en ambos lados.

$$x-3y=2$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 4 por y-5.

$$x-5=4y-20$$

Resta 4y en ambos lados.

$$x-5-4y=-20$$

Engadir 5 en ambos lados.

$$x-4y=-20+5$$

Suma -20 e 5 para obter -15.

$$x-4y=-15$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x-3y=2,x-4y=-15$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{-4-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{-4-\left(-3\right)}&\frac{1}{-4-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4&-3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-15\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\times 2-3\left(-15\right)\\2-\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}53\\17\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=53,y=17$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 3y en ambos lados.

$$x-3y=2$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 4 por y-5.

$$x-5=4y-20$$

Resta 4y en ambos lados.

$$x-5-4y=-20$$

Engadir 5 en ambos lados.

$$x-4y=-20+5$$

Suma -20 e 5 para obter -15.

$$x-4y=-15$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x-3y=2,x-4y=-15$$

Resta x-4y=-15 de x-3y=2 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$x-x-3y+4y=2+15$$

Suma x a -x. x e -x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-3y+4y=2+15$$

Suma -3y a 4y.

$$y=2+15$$

Suma 2 a 15.

$$y=17$$

Substitúe y por 17 en x-4y=-15. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x-4\times 17=-15$$

Multiplica -4 por 17.

$$x-68=-15$$

Suma 68 en ambos lados da ecuación.

$$x=53$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=53,y=17$$