Resolver {c}{x+y=9}{4x+5y=39}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 9 } \\ { 4 x + 5 y = 39 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=6$$

$$y=3$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+y=9,4x+5y=39$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+y=9$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$x=-y+9$$

Substitúe x por -y+9 na outra ecuación, 4x+5y=39.

$$4\left(-y+9\right)+5y=39$$

Multiplica 4 por -y+9.

$$-4y+36+5y=39$$

Suma -4y a 5y.

$$y+36=39$$

Resta 36 en ambos lados da ecuación.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en x=-y+9. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-3+9$$

Suma 9 a -3.

$$x=6$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=6,y=3$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+y=9,4x+5y=39$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\39\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\39\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\39\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\39\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-4}&-\frac{1}{5-4}\\-\frac{4}{5-4}&\frac{1}{5-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\39\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&-1\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\39\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 9-39\\-4\times 9+39\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=6,y=3$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+y=9,4x+5y=39$$

Para que x e 4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 4 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$4x+4y=4\times 9,4x+5y=39$$

Simplifica.

$$4x+4y=36,4x+5y=39$$

Resta 4x+5y=39 de 4x+4y=36 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$4x-4x+4y-5y=36-39$$

Suma 4x a -4x. 4x e -4x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$4y-5y=36-39$$

Suma 4y a -5y.

$$-y=36-39$$

Suma 36 a -39.

$$-y=-3$$

Divide ambos lados entre -1.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en 4x+5y=39. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$4x+5\times 3=39$$

Multiplica 5 por 3.

$$4x+15=39$$

Resta 15 en ambos lados da ecuación.

$$4x=24$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=6$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=6,y=3$$