Resolver {c}{x+y=89}{2x+y=23y}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 89 } \\ { 2 x + y = 23 y } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{979}{12} = 81\frac{7}{12} \approx 81.583333333$$

$$y = \frac{89}{12} = 7\frac{5}{12} \approx 7.416666667$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 23y en ambos lados.

$$2x+y-23y=0$$

Combina y e -23y para obter -22y.

$$2x-22y=0$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+y=89,2x-22y=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+y=89$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$x=-y+89$$

Substitúe x por -y+89 na outra ecuación, 2x-22y=0.

$$2\left(-y+89\right)-22y=0$$

Multiplica 2 por -y+89.

$$-2y+178-22y=0$$

Suma -2y a -22y.

$$-24y+178=0$$

Resta 178 en ambos lados da ecuación.

$$-24y=-178$$

Divide ambos lados entre -24.

$$y=\frac{89}{12}$$

Substitúe y por \frac{89}{12} en x=-y+89. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{89}{12}+89$$

Suma 89 a -\frac{89}{12}.

$$x=\frac{979}{12}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{979}{12},y=\frac{89}{12}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 23y en ambos lados.

$$2x+y-23y=0$$

Combina y e -23y para obter -22y.

$$2x-22y=0$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+y=89,2x-22y=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-22\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{22}{-22-2}&-\frac{1}{-22-2}\\-\frac{2}{-22-2}&\frac{1}{-22-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{12}&\frac{1}{24}\\\frac{1}{12}&-\frac{1}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}89\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{12}\times 89\\\frac{1}{12}\times 89\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{979}{12}\\\frac{89}{12}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{979}{12},y=\frac{89}{12}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 23y en ambos lados.

$$2x+y-23y=0$$

Combina y e -23y para obter -22y.

$$2x-22y=0$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+y=89,2x-22y=0$$

Para que x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$2x+2y=2\times 89,2x-22y=0$$

Simplifica.

$$2x+2y=178,2x-22y=0$$

Resta 2x-22y=0 de 2x+2y=178 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2x-2x+2y+22y=178$$

Suma 2x a -2x. 2x e -2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$2y+22y=178$$

Suma 2y a 22y.

$$24y=178$$

Divide ambos lados entre 24.

$$y=\frac{89}{12}$$

Substitúe y por \frac{89}{12} en 2x-22y=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x-22\times \frac{89}{12}=0$$

Multiplica -22 por \frac{89}{12}.

$$2x-\frac{979}{6}=0$$

Suma \frac{979}{6} en ambos lados da ecuación.

$$2x=\frac{979}{6}$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{979}{12}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{979}{12},y=\frac{89}{12}$$