Resolver {c}{x+y=8a}{4x+8y=60}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 8 a } \\ { 4 x + 8 y = 60 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=16a-15$$

$$y=15-8a$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+y=8a,4x+8y=60$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+y=8a$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$x=-y+8a$$

Substitúe x por -y+8a na outra ecuación, 4x+8y=60.

$$4\left(-y+8a\right)+8y=60$$

Multiplica 4 por -y+8a.

$$-4y+32a+8y=60$$

Suma -4y a 8y.

$$4y+32a=60$$

Resta 32a en ambos lados da ecuación.

$$4y=60-32a$$

Divide ambos lados entre 4.

$$y=15-8a$$

Substitúe y por 15-8a en x=-y+8a. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\left(15-8a\right)+8a$$

Multiplica -1 por 15-8a.

$$x=8a-15+8a$$

Suma 8a a -15+8a.

$$x=16a-15$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=16a-15,y=15-8a$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+y=8a,4x+8y=60$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\4&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8a\\60\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\4&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\4&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8a\\60\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8a\\60\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8a\\60\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8-4}&-\frac{1}{8-4}\\-\frac{4}{8-4}&\frac{1}{8-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8a\\60\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-\frac{1}{4}\\-1&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8a\\60\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 8a-\frac{1}{4}\times 60\\-8a+\frac{1}{4}\times 60\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16a-15\\15-8a\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=16a-15,y=15-8a$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+y=8a,4x+8y=60$$

Para que x e 4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 4 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$4x+4y=4\times 8a,4x+8y=60$$

Simplifica.

$$4x+4y=32a,4x+8y=60$$

Resta 4x+8y=60 de 4x+4y=32a mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$4x-4x+4y-8y=32a-60$$

Suma 4x a -4x. 4x e -4x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$4y-8y=32a-60$$

Suma 4y a -8y.

$$-4y=32a-60$$

Divide ambos lados entre -4.

$$y=15-8a$$

Substitúe y por 15-8a en 4x+8y=60. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$4x+8\left(15-8a\right)=60$$

Multiplica 8 por 15-8a.

$$4x+120-64a=60$$

Resta 120-64a en ambos lados da ecuación.

$$4x=64a-60$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=16a-15$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=16a-15,y=15-8a$$