Resolver {c}{x+y=8}{40x+55y=410}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 8 } \\ { 40 x + 55 y = 410 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=2$$

$$y=6$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+y=8,40x+55y=410$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+y=8$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$x=-y+8$$

Substitúe x por -y+8 na outra ecuación, 40x+55y=410.

$$40\left(-y+8\right)+55y=410$$

Multiplica 40 por -y+8.

$$-40y+320+55y=410$$

Suma -40y a 55y.

$$15y+320=410$$

Resta 320 en ambos lados da ecuación.

$$15y=90$$

Divide ambos lados entre 15.

$$y=6$$

Substitúe y por 6 en x=-y+8. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-6+8$$

Suma 8 a -6.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=6$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+y=8,40x+55y=410$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\40&55\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{55}{55-40}&-\frac{1}{55-40}\\-\frac{40}{55-40}&\frac{1}{55-40}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{3}&-\frac{1}{15}\\-\frac{8}{3}&\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\410\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{3}\times 8-\frac{1}{15}\times 410\\-\frac{8}{3}\times 8+\frac{1}{15}\times 410\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=2,y=6$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+y=8,40x+55y=410$$

Para que x e 40x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 40 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$40x+40y=40\times 8,40x+55y=410$$

Simplifica.

$$40x+40y=320,40x+55y=410$$

Resta 40x+55y=410 de 40x+40y=320 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$40x-40x+40y-55y=320-410$$

Suma 40x a -40x. 40x e -40x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$40y-55y=320-410$$

Suma 40y a -55y.

$$-15y=320-410$$

Suma 320 a -410.

$$-15y=-90$$

Divide ambos lados entre -15.

$$y=6$$

Substitúe y por 6 en 40x+55y=410. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$40x+55\times 6=410$$

Multiplica 55 por 6.

$$40x+330=410$$

Resta 330 en ambos lados da ecuación.

$$40x=80$$

Divide ambos lados entre 40.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=6$$