Resolver {c}{x+y=8}{2x+5/3y/8=0.5}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 8 } \\ { \frac { 2 x + \frac { 5 } { 3 } y } { 8 } = 0.5 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-28$$

$$y=36$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados por 8.

$$2x+\frac{5}{3}y=0.5\times 8$$

Multiplica 0.5 e 8 para obter 4.

$$2x+\frac{5}{3}y=4$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+y=8,2x+\frac{5}{3}y=4$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+y=8$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$x=-y+8$$

Substitúe x por -y+8 na outra ecuación, 2x+\frac{5}{3}y=4.

$$2\left(-y+8\right)+\frac{5}{3}y=4$$

Multiplica 2 por -y+8.

$$-2y+16+\frac{5}{3}y=4$$

Suma -2y a \frac{5y}{3}.

$$-\frac{1}{3}y+16=4$$

Resta 16 en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{1}{3}y=-12$$

Multiplica ambos lados por -3.

$$y=36$$

Substitúe y por 36 en x=-y+8. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-36+8$$

Suma 8 a -36.

$$x=-28$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-28,y=36$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados por 8.

$$2x+\frac{5}{3}y=0.5\times 8$$

Multiplica 0.5 e 8 para obter 4.

$$2x+\frac{5}{3}y=4$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+y=8,2x+\frac{5}{3}y=4$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&1\\2&\frac{5}{3}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&\frac{5}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&\frac{5}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&\frac{5}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&\frac{5}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{5}{3}}{\frac{5}{3}-2}&-\frac{1}{\frac{5}{3}-2}\\-\frac{2}{\frac{5}{3}-2}&\frac{1}{\frac{5}{3}-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5&3\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\times 8+3\times 4\\6\times 8-3\times 4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-28\\36\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-28,y=36$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados por 8.

$$2x+\frac{5}{3}y=0.5\times 8$$

Multiplica 0.5 e 8 para obter 4.

$$2x+\frac{5}{3}y=4$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+y=8,2x+\frac{5}{3}y=4$$

Para que x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$2x+2y=2\times 8,2x+\frac{5}{3}y=4$$

Simplifica.

$$2x+2y=16,2x+\frac{5}{3}y=4$$

Resta 2x+\frac{5}{3}y=4 de 2x+2y=16 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2x-2x+2y-\frac{5}{3}y=16-4$$

Suma 2x a -2x. 2x e -2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$2y-\frac{5}{3}y=16-4$$

Suma 2y a -\frac{5y}{3}.

$$\frac{1}{3}y=16-4$$

Suma 16 a -4.

$$\frac{1}{3}y=12$$

Multiplica ambos lados por 3.

$$y=36$$

Substitúe y por 36 en 2x+\frac{5}{3}y=4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x+\frac{5}{3}\times 36=4$$

Multiplica \frac{5}{3} por 36.

$$2x+60=4$$

Resta 60 en ambos lados da ecuación.

$$2x=-56$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=-28$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-28,y=36$$